1. Um biólogo preparou um inseticida destinado a matar 50 por cento de certo tipo de inseto. Se, ao pulverizar 200 de tais insetos, matou 120, você pode concluir que a mistura era satisfatória ao nível de 10 \% de significância?

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para a proporção de insetos mortos, comparando com p_{0}=0{,}5. O conteúdo aqui é teste de proporção amostral grande (usando aproximação normal) e precisamos da estatística Z para:
H_{0}:p=0{,}5 \quad\text{vs.}\quad H_{1}:p>0{,}5
ao nível de significância \alpha=0{,}1.

Passo 2

Sob H_{0}, a estatística de teste é
Z \;=\; \frac{\widehat p - p_{0}}{\sqrt{\displaystyle p_{0}(1-p_{0})/n}}
onde \widehat p é a proporção amostral e n o tamanho da amostra.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral:
\widehat p = \frac{120}{200} = 0{,}6.
O erro-padrão sob H_{0} é
\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}5\cdot0{,}5}{200}} = \sqrt{\frac{0{,}25}{200}} = 0{,}03536\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Substituindo na estatística:
Z = \frac{0{,}6 - 0{,}5}{0{,}03536} \approx 2{,}83.
O p-valor (uni-lateral à direita) é
p\text{-valor} = 1 - \Phi(2{,}83)\approx 0{,}0023.

Passo 5

O valor crítico para \alpha=0{,}1 no teste uni-lateral direito é
z_{0{,}9}\approx 1{,}28.
Como Z\approx2{,}83 > 1{,}28 (e p\text{-valor}<0{,}1), rejeitamos H_{0}.

Resposta

Sim, ao nível de 10\% de significância concluímos que a mistura é satisfatória (há evidência de que p>0{,}5).

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