Para certo valor do número quântico principal, n, como as energias dos subníveis s, p, d, f variam para (a) hidrogênio; (b) um átomo polieletrônico?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Para um mesmo valor do número quântico principal \,n, dizer como as energias dos subníveis s, p, d, f se comportam em:
    (a) átomo de hidrogênio;
    (b) átomo polieletrônico.
Informações relevantes do enunciado (que vou usar):
  • Os subníveis s,p,d,f correspondem aos momentos angulares azimutais \ell=0,1,2,3.
  • Estamos comparando energias dentro de um mesmo n (por exemplo todos os subníveis com n=3).

Passo 2

Primeira coisa: lembrar a fórmula básica das energias do átomo de hidrogênio (obtida da solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano ou do modelo de Bohr). A expressão para a energia de um nível com número quântico principal \,n é
E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
Explicando a fórmula: \,E_n é a energia do elétron no nível n (energia ligada, negativa), 13{,}6\\ \text{eV} é a energia do estado fundamental de hidrogênio em módulo, e \,n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots). Observe que não aparece \ell nesta fórmula.

Passo 3

Consequência imediata para o hidrogênio:
  • Para hidrogênio, a energia depende somente de \,n, não de \ell. Logo, para um dado \,n todos os subníveis s,p,d,f têm exatamente a mesma energia (são degenerados). Exemplo numérico: para \,n=3,
E_{3} = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{3^{2}} = -1{,}51\\ \text{eV},
e isto vale tanto para 3s, quanto para 3p, quanto para 3d.

Passo 4

Breve intuição física do caso do hidrogênio:
  • O potencial coulombiano V(r)=-\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r} possui uma simetria especial que faz aparecer essa degenerescência extra (chamada degenerescência “acidental” do potencial coulombiano): as diferentes funções angulares \ell combinam com as soluções radiais de forma que a energia só depende de n. Portanto, sem efeitos relativísticos ou de interação com outros elétrons, E não distingue s,p,d,f.

Passo 5

Agora o caso polieletrônico: o que muda fisicamente?
  • Em átomos com mais de um elétron aparecem interações elétron–elétron. Essas interações introduzem dois efeitos importantes:
    1. Blindagem (shielding): elétrons mais internos reduzem a carga nuclear efetiva sentida por um elétron externo.
    2. Penetração: orbitais com maior amplitude perto do núcleo sentem melhor a carga nuclear (menos blindada) — portanto “penetram” mais e ficam mais ligados.
  • Para descrever isso de forma simples usa-se o conceito de carga nuclear efetiva \,Z_{\text{eff}}. Uma aproximação útil para a energia é (modelo hidrogenoide aproximado)
E_{n,\ell}\approx -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}\;Z_{\text{eff}}^{2},
onde \,Z_{\text{eff}} é a carga nuclear efetiva sentida pelo elétron (maior \,Z_{\text{eff}} \Rightarrow mais ligado, energia mais negativa).

Passo 6

Como \,Z_{\text{eff}} varia com \ell e por quê:
  • Orbitais s têm amplitude não nula no núcleo ( r=0) e, em geral, maior densidade radial próxima ao núcleo: eles penetram profundamente nas camadas internas e “veem” quase toda a carga nuclear (isto é, menor blindagem pelos elétrons internos) ⇒ \,Z_{\text{eff}}(s) é o maior.
  • Orbitais p penetram menos que s, portanto \,Z_{\text{eff}}(p) é menor que \,Z_{\text{eff}}(s).
  • Orbitais d e f penetram ainda menos, então \,Z_{\text{eff}}(d)<Z_{\text{eff}}(p) e \,Z_{\text{eff}}(f) é geralmente o menor.
  • Como energia aproximadamente escala com -Z_{\text{eff}}^{2}, maior Z_{\text{eff}} → energia mais negativa (mais ligado).

Passo 7

Conclusão prática para átomos polieletrônicos (ordem de energias dentro de um mesmo \,n):
  • A ordem típica é
E_{n,s} < E_{n,p} < E_{n,d} < E_{n,f},
ou seja, para o mesmo \,n o subnível s é o mais ligado (menor energia), seguido de p, depois d, e f é o menos ligado (maior energia). Aqui escrevi “ <” no sentido de energia numérica (mais negativa \Rightarrow menor).

Passo 8

Observações importantes que valem para prova:
  • A comparação do item (b) vale quando se comparam subníveis com o mesmo \,n dentro de um átomo real polieletrônico; esta é a regra qualitativa usada para entender preenchimento de orbitais (aufbau).
  • Há exceções e detalhes: em átomos reais a ordem entre níveis com diferentes \,n pode inverter (por exemplo, 4s pode ficar abaixo de 3d em energia, razão pela qual o preenchimento segue 4s antes de 3d em muitos casos). Também há correções finas por spin–órbita, efeitos relativísticos e troca que causam pequenas separações adicionais.
  • Para responder uma questão de prova, se pedirem apenas “como variam”, diga: (a) hidrogênio: degenerados (mesma energia para todos \ell com o mesmo n); (b) polieletrônico: energia cresce com \ell na ordem s<p<d<f (s mais baixo).

Passo 9

Dica prática de memorização e como apresentar em prova:
  • Diga explicitamente que para hidrogênio a fórmula \,E_n=-13{,}6\,\text{eV}/n^2 mostra independência de \ell.
  • Para polieletrônico, explique rápido o motivo físico (blindagem e penetração) e escreva a ordem de energias dentro do mesmo n:
E_{n,s}<E_{n,p}<E_{n,d}<E_{n,f}.
  • Se quiser um reforço: desenhe qualitativamente as densidades radiais de s,p,d mostrando que s tem mais amplitude perto do núcleo.

Resposta

(a) Para hidrogênio: todos os subníveis s,p,d,f com o mesmo \,n têm a mesma energia (degenerescência), dada por E_n=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.
(b) Para átomo polieletrônico: dentro de um mesmo \,n as energias seguem E_{n,s}<E_{n,p}<E_{n,d}<E_{n,f} (ou seja, s é o mais ligado e f o menos ligado).

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