Para certo valor do número quântico principal,
, como as energias dos subníveis
variam para (a) hidrogênio; (b) um átomo polieletrônico?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Para um mesmo valor do número quântico principal
, dizer como as energias dos subníveis se comportam em:
(a) átomo de hidrogênio;
(b) átomo polieletrônico.
Informações relevantes do enunciado (que vou usar):
- Os subníveis
correspondem aos momentos angulares azimutais . - Estamos comparando energias dentro de um mesmo
(por exemplo todos os subníveis com ).
Passo 2
Primeira coisa: lembrar a fórmula básica das energias do átomo de hidrogênio (obtida da solução da equação de Schrödinger para o potencial coulombiano ou do modelo de Bohr). A expressão para a energia de um nível com número quântico principal
é
Explicando a fórmula:
é a energia do elétron no nível
(energia ligada, negativa),
é a energia do estado fundamental de hidrogênio em módulo, e
é o número quântico principal (
). Observe que não aparece
nesta fórmula.
Passo 3
Consequência imediata para o hidrogênio:
- Para hidrogênio, a energia depende somente de
, não de . Logo, para um dado todos os subníveis têm exatamente a mesma energia (são degenerados). Exemplo numérico: para ,
e isto vale tanto para
, quanto para
, quanto para
.
Passo 4
Breve intuição física do caso do hidrogênio:
- O potencial coulombiano
possui uma simetria especial que faz aparecer essa degenerescência extra (chamada degenerescência “acidental” do potencial coulombiano): as diferentes funções angulares combinam com as soluções radiais de forma que a energia só depende de . Portanto, sem efeitos relativísticos ou de interação com outros elétrons, não distingue .
Passo 5
Agora o caso polieletrônico: o que muda fisicamente?
- Em átomos com mais de um elétron aparecem interações elétron–elétron. Essas interações introduzem dois efeitos importantes:
- Blindagem (shielding): elétrons mais internos reduzem a carga nuclear efetiva sentida por um elétron externo.
- Penetração: orbitais com maior amplitude perto do núcleo sentem melhor a carga nuclear (menos blindada) — portanto “penetram” mais e ficam mais ligados.
- Para descrever isso de forma simples usa-se o conceito de carga nuclear efetiva
. Uma aproximação útil para a energia é (modelo hidrogenoide aproximado)
onde
é a carga nuclear efetiva sentida pelo elétron (maior
mais ligado, energia mais negativa).
Passo 6
Como
varia com
e por quê:
- Orbitais
têm amplitude não nula no núcleo ( ) e, em geral, maior densidade radial próxima ao núcleo: eles penetram profundamente nas camadas internas e “veem” quase toda a carga nuclear (isto é, menor blindagem pelos elétrons internos) ⇒ é o maior. - Orbitais
penetram menos que , portanto é menor que . - Orbitais
e penetram ainda menos, então e é geralmente o menor. - Como energia aproximadamente escala com
, maior → energia mais negativa (mais ligado).
Passo 7
Conclusão prática para átomos polieletrônicos (ordem de energias dentro de um mesmo
):
- A ordem típica é
ou seja, para o mesmo
o subnível
é o mais ligado (menor energia), seguido de
, depois
, e
é o menos ligado (maior energia). Aqui escrevi “
” no sentido de energia numérica (mais negativa
menor).
Passo 8
Observações importantes que valem para prova:
- A comparação do item (b) vale quando se comparam subníveis com o mesmo
dentro de um átomo real polieletrônico; esta é a regra qualitativa usada para entender preenchimento de orbitais (aufbau). - Há exceções e detalhes: em átomos reais a ordem entre níveis com diferentes
pode inverter (por exemplo, pode ficar abaixo de em energia, razão pela qual o preenchimento segue 4s antes de 3d em muitos casos). Também há correções finas por spin–órbita, efeitos relativísticos e troca que causam pequenas separações adicionais. - Para responder uma questão de prova, se pedirem apenas “como variam”, diga: (a) hidrogênio: degenerados (mesma energia para todos
com o mesmo ); (b) polieletrônico: energia cresce com na ordem (s mais baixo).
Passo 9
Dica prática de memorização e como apresentar em prova:
- Diga explicitamente que para hidrogênio a fórmula
mostra independência de . - Para polieletrônico, explique rápido o motivo físico (blindagem e penetração) e escreva a ordem de energias dentro do mesmo
:
- Se quiser um reforço: desenhe qualitativamente as densidades radiais de
mostrando que tem mais amplitude perto do núcleo.
Resposta
(a) Para hidrogênio: todos os subníveis
com o mesmo
têm a mesma energia (degenerescência), dada por
.
(b) Para átomo polieletrônico: dentro de um mesmo
as energias seguem
(ou seja,
é o mais ligado e
o menos ligado).