A primeira linha da série de Balmer ocorre a um comprimento de onda de 356,3 \mathrm{~nm}. Qual é a diferença entre os dois níveis energéticos envolvidos na emissão responsável pelo aparecimento dessa linha espectral?

Passo 1

O enunciado dá uma linha da série de Balmer com comprimento de onda \lambda=356{,}3\\ \mathrm{nm} e pede a diferença de energia entre os dois níveis envolvidos na emissão responsável por essa linha.
Informações relevantes fornecidas:
  • Comprimento de onda da fóton emitido: \lambda=356{,}3\\ \mathrm{nm}.
O que devemos encontrar:
  • A diferença de energia \Delta E entre os dois níveis (ou seja, a energia do fóton emitido).

Passo 2

Conceito/fórmula que vamos usar: a energia de um fóton relacionado ao comprimento de onda é dada por
\Delta E = \frac{h\,c}{\lambda},
onde:
  • h é a constante de Planck (valor fixo),
  • c é a velocidade da luz no vácuo,
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton.
Explicando cada símbolo:
  • h (constante de Planck) representa a menor “quantidade” de ação associada a fótons; seu valor numérico exato definido é h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • c (velocidade da luz) é a velocidade com que a luz viaja no vácuo; seu valor é c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton; cuidado com unidades: o dado está em \mathrm{nm} e precisa ser convertido para metros para manter a consistência das unidades.
Raciocínio físico simples: quando um elétron cai de um nível de energia mais alto para um nível mais baixo ele emite um fóton. A energia do fóton é exatamente a diferença de energia entre os níveis; por isso calcular \Delta E pelo hc/\lambda dá a resposta pedida.

Passo 3

Converter o comprimento de onda para metros:
\lambda = 356{,}3\\ \mathrm{nm} = 356{,}3\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 3{,}563\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Calcular o produto h c:
h\,c = \left(6{,}62607015\times10^{-34}\right)\left(2{,}99792458\times10^{8}\right) = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.

Passo 4

Agora dividir h c por \lambda para obter \Delta E (em joules):
\Delta E = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{3{,}563\times10^{-7}} = \left(\frac{1{,}98644586}{3{,}563}\right)\times10^{-18}.
Calcule a razão numérica:
\frac{1{,}98644586}{3{,}563}\approx0{,}5577,
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\Delta E \approx 0{,}5577\times10^{-18}\\ \mathrm{J}=5{,}577\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Converter o resultado para elétron-volts (opcional, mas muito útil em física atômica). A relação é
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Portanto
\Delta E = \frac{5{,}577\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 3{,}48\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a diferença de energia entre os níveis é exatamente a energia do fóton emitido; para qualquer linha espectral basta aplicar \Delta E = hc/\lambda. Lembre-se sempre de converter \lambda para metros antes de calcular e, se quiser o valor em \mathrm{eV}, dividir por 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Resposta

\Delta E \approx 5{,}577\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
\Delta E \approx 3{,}48\\ \mathrm{eV}

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