4 Escoamento de fluido pseudoplástico em tubulação ( 1,5 pt)

Em uma indústria alimentícia, um alimento líquido, a 72^{\circ} \mathrm{C}, é transportado com uma vazão mássica de 8970 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~h}^{-1} em uma tubulação de 76,2 \mathrm{~mm} de diâmetro interno e 11 m de comprimento. O fluido alimentício, nessa temperatura, apresenta densidade de 903,4 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3} e comportamento reológico pseudoplástico, sem tensão de cisalhamento inicial, com índice de consistência igual a 0,282 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}^{\mathrm{n}} e índice de fluxo igual a 0,889 .

Determine:

(i) a queda de pressão;
(ii) a velocidade máxima; e
(iii) construa o gráfico do perfil de velocidade no escoamento laminar do fluido alimentício considerando o perfil plenamente desenvolvido.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento laminar, plenamente desenvolvido, de um fluido pseudoplástico (Lei de Potência) numa tubulação circular de comprimento L=11{,}0\\ \mathrm{m} e diâmetro interno D=76{,}2\\ \mathrm{mm}. Os dados são:
\dot m=8970\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{h}^{-1}, densidade \rho=903{,}4\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, índice de consistência k=0{,}282\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}^n e índice de fluxo n=0{,}889.
Para calcular (i) a queda de pressão, usamos a correção de Rabinowitsch–Mooney, que dá
\Delta P =\frac{2\,k\,L}{R}\,\bigl[\gamma_{\!w}\bigr]^n \quad\text{com}\quad \gamma_{\!w} =\frac{3\,n+1}{4\,n}\,\frac{8\,V_{\mathrm{m}}}{D},
onde V_{\mathrm{m}}=Q/\bigl(\pi R^2\bigr) é a velocidade média e R=D/2.
Para (ii) a velocidade máxima e (iii) o perfil de velocidade, a Lei de Potência em coordenada radial leva a
v(r) =\Bigl(\frac{\Delta P}{2\,k\,L}\Bigr)^{\!1/n}\,\frac{n}{n+1}\,\bigl[R^{1+1/n}-r^{1+1/n}\bigr],
com v_{\max}=v(0).

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica Q a partir de \dot m:
\dot m=8970\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{h}^{-1} \;\Longrightarrow\; \dot m=\frac{8970}{3600}\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}=2{,}4917\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Q=\frac{\dot m}{\rho} =\frac{2{,}4917}{903{,}4}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\mathrm{s}^{-1} =0{,}002756\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\mathrm{s}^{-1}.
A velocidade média é
V_{\mathrm{m}} =\frac{Q}{\pi R^2} \quad\text{com}\quad R=\frac{D}{2}=0{,}0381\\ \mathrm{m},
V_{\mathrm{m}} =\frac{0{,}002756}{\pi\,(0{,}0381)^2} =0{,}604\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Calcular a taxa de cisalhamento na parede \gamma_{\!w}:
\gamma_{\!w} =\frac{3\,n+1}{4\,n}\,\frac{8\,V_{\mathrm{m}}}{D} =\frac{3\cdot0{,}889+1}{4\cdot0{,}889}\,\frac{8\cdot0{,}604}{0{,}0762} =65{,}42\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Determinar a queda de pressão \Delta P:
\Delta P =\frac{2\,k\,L}{R}\,\bigl[\gamma_{\!w}\bigr]^n =\frac{2\cdot0{,}282\cdot11{,}0}{0{,}0381}\,(65{,}42)^{0{,}889} \approx6692\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max} pelo perfil integrado:
v_{\max} =\Bigl(\frac{\Delta P}{2\,k\,L}\Bigr)^{\!1/n}\,\frac{n}{n+1}\,R^{\,1+1/n}.
Substituindo
\Delta P=6692\\ \mathrm{Pa}, 2\,k\,L=2\cdot0{,}282\cdot11=6{,}204, 1/n\approx1{,}125, n/(n+1)=0{,}889/1{,}889=0{,}471:
v_{\max} \approx1{,}18\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

O perfil de velocidade plenamente desenvolvido é
v(r) = v_{\max} \Bigl[1 - \left(\tfrac{r}{R}\right)^{1+1/n}\Bigr] = 1{,}18 \Bigl[1 - \left(\tfrac{r}{R}\right)^{2{,}125}\Bigr].
Gráfico de v(r) versus r, para 0 \le r \le R:
Em que a curva apresenta formato “mais plano” (plug-like) que o parabólico Newtoniano.

Resposta

(i) \Delta P\approx6692\\ \mathrm{Pa} ( \approx 6,7 kPa)
(ii) v_{\max}\approx1{,}18\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}
(iii) v(r)=1{,}18\,[\,1-(r/R)^{2{,}125}] com R=0{,}0381\\ \mathrm{m}.

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