(Cesesp - PE) Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x)=x^2-x, sendo o custo da produção dado por C(x)=2 x^2-7 x+8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá a receita mensal por V(x)=x^2 - x e o custo por C(x)=2x^2 - 7x + 8, e pede quantas unidades x vendidas maximizam o lucro. O conteúdo é otimização de funções quadráticas: precisamos montar a função lucro e achar seu vértice.

Passo 2

Definimos a função lucro por receita menos custo:
L(x)=V(x)-C(x)=(x^2 - x)-(2x^2 -7x +8)
Simplificando:
L(x)=x^2 - x -2x^2 +7x -8 = -x^2 +6x -8

Passo 3

Perceba que L(x) é uma parábola com coeficiente a=-1<0, ou seja, côncava para baixo. O máximo ocorre no vértice, dado por xv=-b2a. Aqui a=-1 e b=6.

Passo 4

Calculando o vértice:
xv = -62cdot(-1) = 3
Portanto, o lucro é máximo quando se vendem 3 unidades por mês.

Resposta

3 unidades

Exercícios relacionados