(CESGRANRIO, 2011) Em uma viga estaticamente indeterminada, as reações de apoio são determinadas:
a) apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
b) apenas pelas condições de equilíbrio estático.
c) apenas pelas condições de contorno.
d) pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
e) pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
a) apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
b) apenas pelas condições de equilíbrio estático.
c) apenas pelas condições de contorno.
d) pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
e) pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
Passo 1
O enunciado pergunta: em uma viga estaticamente indeterminada, as reações de apoio são determinadas por qual conjunto de condições?
Opções dadas:
(a) apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
(b) apenas pelas condições de equilíbrio estático.
(c) apenas pelas condições de contorno.
(d) pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
(e) pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
Informações relevantes do enunciado: a viga é estaticamente indeterminada (ou seja, há mais incógnitas de reação do que equações de equilíbrio estático disponíveis).
Opções dadas:
(a) apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
(b) apenas pelas condições de equilíbrio estático.
(c) apenas pelas condições de contorno.
(d) pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
(e) pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
Informações relevantes do enunciado: a viga é estaticamente indeterminada (ou seja, há mais incógnitas de reação do que equações de equilíbrio estático disponíveis).
Passo 2
O que significa “estaticamente indeterminada” (contagem e por que equilíbrio não basta)
- Em estática de corpos rígidos/estruturas, existem um número finito de equações de equilíbrio. Para um problema plano a forma usual é:
, , . Essas são as equações de equilíbrio estático. - Se o número de incógnitas (reações de apoio) excede o número de equações de equilíbrio disponíveis, as equações de equilíbrio por si só não determinam todas as reações. Isso é o que chamamos de grau de indeterminação estática. Portanto, para uma viga estaticamente indeterminada, as equações de equilíbrio não são suficientes para achar todas as reações.
Passo 3
O papel das condições de compatibilidade de deslocamentos
- “Compatibilidade” significa que os deslocamentos e rotações da viga devem obedecer às restrições impostas pelos apoios e à continuidade da peça (por exemplo, um apoio engastado impõe deslocamento e rotação nulos naquele ponto). Essas são equações adicionais que relacionam deslocamentos entre pontos da viga.
- Exemplificando de forma conceitual: se uma reação redundante
impede que um apoio desça, a compatibilidade pode dizer “a deflexão naquele ponto deve ser zero: ”. Essa condição é uma equação extra que envolve . - Assim, compatibilidade fornece as equações adicionais necessárias para completar o sistema quando o problema é estaticamente indeterminado.
Passo 4
Como usamos compatibilidade na prática (ligação com comportamento elástico)
- Para transformar uma condição de compatibilidade (ex.:
) numa equação que envolva as reações, precisamos relacionar cargas/momentos com deslocamentos. No caso clássico de vigas, usa-se a relação da flexão (equação da viga de Euler–Bernoulli):
onde
é o módulo de Young,
o momento de inércia da seção,
a deflexão vertical e
o momento fletor ao longo da viga. Integrando essa equação (com condições de contorno) obtemos
em função das reações desconhecidas. Então impomos a compatibilidade (por exemplo
) para obter equações que permitem resolver as reações redundantes.
- Note que, para escrever
em função das reações, usamos propriedades elásticas ( e ) e a hipótese de Bernoulli–Euler. Portanto, na prática, a constituição elástica entra no cálculo das compatibilidades.
Passo 5
Por que a alternativa (e) não é a melhor escolha apesar da Lei de Hooke aparecer no processo
- A alternativa (e) diz “pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke”. A Lei de Hooke (e, mais amplamente, a relação constitutiva linear
) é necessária para relacionar cargas a deformações quando impomos compatibilidade, mas ela sozinha e as condições de contorno não garantem equilíbrio global. As reações também têm de satisfazer as equações de equilíbrio estático. - Portanto, o conjunto mínimo de requisitos para determinar as reações em um caso indeterminado é: (i) equilíbrio estático e (ii) compatibilidade (que, para ser aplicada numericamente, costuma usar a relação constitutiva, como a Lei de Hooke). Mas eliminar as equações de equilíbrio (como faz a opção e) é incorreto.
Passo 6
Conclusão lógica comparando as alternativas
- (b) está errada porque só o equilíbrio não resolve indeterminação.
- (a) e (c) estão erradas porque compatibilidade ou condições de contorno sozinhas também não impõem o equilíbrio necessário.
- (e) está incompleta porque falta exigir que as reações satisfaçam as equações de equilíbrio; a Lei de Hooke ajuda a traduzir compatibilidade em equações numéricas, mas não substitui as equações de equilíbrio.
- A alternativa (d) afirma explicitamente que são usadas as condições de equilíbrio estático e as condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno — exatamente o conjunto mínimo e correto para encontrar as reações em estruturas estaticamente indeterminadas.
Resposta
(d)