1. (UFJF) Marque a alternativa incorreta:
    a) Se x e y são números racionais, então x+y é um número racional.
    b) Se x e y são n úmeros irracionais, então x+y é um número irracional.
    c) Se x e y são números racionais, então x \cdot y é um número racional.
    d) Se x é um número racional e y é um número irracional, então x+y é um número irracional.
    e) n.r.a

Passo 1

O enunciado pede: marcar a alternativa incorreta entre as opções abaixo. Vou listar claramente cada alternativa (sem resolver ainda):
a) Se x e y são números racionais, então x+y é um número racional.
b) Se x e y são números irracionais, então x+y é um número irracional.
c) Se x e y são números racionais, então x \cdot y é um número racional.
d) Se x é um número racional e y é um número irracional, então x+y é um número irracional.
e) n.r.a
O que o problema quer: identificar qual dessas afirmações é falsa (incorreta).

Passo 2

Antes de analisar cada alternativa, vamos revisar com calma o que são números racionais e irracionais — é fundamental para entender as provas e contraexemplos.
  • Definição de número racional: um número r é racional se existe um par de inteiros p e q (com q\neq0) tal que r=\dfrac{p}{q}. Exemplos: \dfrac{1}{2}, -3, \dfrac{7}{4}. Em notação: \mathbb{Q} é o conjunto dos racionais.
  • Definição de número irracional: um número t é irracional se não é racional, ou seja, não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com inteiros p,q. Exemplos clássicos: \sqrt{2}, \pi, e. Esses números não cabem numa fração de inteiros.
Também é útil saber duas propriedades básicas do conjunto dos racionais \mathbb{Q}:
  • \mathbb{Q} é fechado sob adição: soma de dois racionais é racional.
  • \mathbb{Q} é fechado sob multiplicação: produto de dois racionais é racional.
  • \mathbb{Q} é fechado sob subtração: diferença de dois racionais é racional.
Vou usar essas definições e propriedades ao longo da análise.

Passo 3

Análise da alternativa (a): “Se x e y são números racionais, então x+y é um número racional.”
Prova direta (muito simples e padrão): escreva x=\dfrac{p}{q} e y=\dfrac{r}{s} com p,q,r,s\in\mathbb{Z} e q\neq0,s\neq0. Então
x+y=\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}.
Como ps+qr e qs são inteiros e qs\neq0, segue que x+y é da forma \dfrac{\text{inteiro}}{\text{inteiro}\neq0}, ou seja, racional. Logo (a) é verdadeira.

Passo 4

Análise da alternativa (c): “Se x e y são números racionais, então x\cdot y é um número racional.”
Prova direta: com x=\dfrac{p}{q} e y=\dfrac{r}{s} como antes,
x\cdot y=\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}.
Novamente pr e qs são inteiros e qs\neq0, logo x\cdot y é racional. Portanto (c) é verdadeira.

Passo 5

Análise da alternativa (b): “Se x e y são números irracionais, então x+y é um número irracional.”
Aqui é preciso cuidado: a afirmação diz que a soma de dois irracionais é sempre irracional. Para mostrar que essa proposição é falsa basta encontrar um contraexemplo: dois números irracionais cuja soma seja racional.
Um contraexemplo clássico e bem simples é escolher
x=\sqrt{2}\quad\text{e}\quad y=-\sqrt{2}.
  • Primeiro, lembrando: \sqrt{2} é irracional. Posso provar isso rapidamente (prova por contradição): suponha \sqrt{2}=\dfrac{a}{b} com inteiros a,b sem fator comum. Então 2=\dfrac{a^2}{b^2}, logo a^2=2b^2. Assim a^2 é par, então a é par; escreva a=2k. Substituindo, (2k)^2=4k^2=2b^2 implica b^2=2k^2, então b^2 e b também são pares. Assim a e b são ambos pares, contradizendo que não tinham fator comum. Logo \sqrt{2} não é racional.
  • Consequentemente -\sqrt{2} também é irracional (negativo de irracional é irracional).
  • Mas a soma x+y=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0, que é racional.
Portanto há exemplos de dois irracionais cuja soma é racional; logo a afirmação (b) é falsa. Concluímos que (b) é uma alternativa incorreta.

Passo 6

Análise da alternativa (d): “Se x é um número racional e y é um número irracional, então x+y é um número irracional.”
Vamos provar que (d) é verdadeira. Prova por contradição (curta e elegante): suponha x\in\mathbb{Q} e y\notin\mathbb{Q}. Se x+y fosse racional, isto é (x+y)\in\mathbb{Q}, então fazendo a diferença
y=(x+y)-x,
o lado direito é diferença de dois números racionais (pois assumimos x racional e x+y racional), e como \mathbb{Q} é fechado sob subtração essa diferença seria racional. Isso contradiz a hipótese de que y é irracional. Logo x+y não pode ser racional; portanto x+y é irracional. Assim (d) é verdadeira.
Observação intuitiva: somar um número “com representação fracionária” a outro que não tem essa representação não vai transformar o irracional em racional — se acontecesse seria porque o irracional teria sido uma diferença de racionais, o que é impossível.

Passo 7

Resumo da verificação:
  • (a) verdadeira (fechamento dos racionais sob adição).
  • (c) verdadeira (fechamento dos racionais sob multiplicação).
  • (d) verdadeira (soma de racional com irracional é irracional — prova por contradição).
  • (b) falsa (contraexemplo com \sqrt{2} e -\sqrt{2}).
Portanto, a única alternativa incorreta é a que afirma que “a soma de dois irracionais é sempre irracional”.

Resposta

b)

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