- (UFJF) Marque a alternativa incorreta:
a) Se
e
são números racionais, então
é um número racional.
b) Se
e
são n úmeros irracionais, então
é um número irracional.
c) Se
e
são números racionais, então
é um número racional.
d) Se
é um número racional e
é um número irracional, então
é um número irracional.
e) n.r.a
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
e) n.r.a
Passo 1
O enunciado pede: marcar a alternativa incorreta entre as opções abaixo. Vou listar claramente cada alternativa (sem resolver ainda):
a) Se e
são números racionais, então
é um número racional.
b) Se e
são números irracionais, então
é um número irracional.
c) Se e
são números racionais, então
é um número racional.
d) Se é um número racional e
é um número irracional, então
é um número irracional.
e) n.r.a
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
e) n.r.a
O que o problema quer: identificar qual dessas afirmações é falsa (incorreta).
Passo 2
Antes de analisar cada alternativa, vamos revisar com calma o que são números racionais e irracionais — é fundamental para entender as provas e contraexemplos.
- Definição de número racional: um número
é racional se existe um par de inteiros e (com ) tal que . Exemplos: , , . Em notação: é o conjunto dos racionais. - Definição de número irracional: um número
é irracional se não é racional, ou seja, não pode ser escrito como com inteiros . Exemplos clássicos: , , . Esses números não cabem numa fração de inteiros.
Também é útil saber duas propriedades básicas do conjunto dos racionais
:
-
é fechado sob adição: soma de dois racionais é racional. -
é fechado sob multiplicação: produto de dois racionais é racional. -
é fechado sob subtração: diferença de dois racionais é racional.
Vou usar essas definições e propriedades ao longo da análise.
Passo 3
Análise da alternativa (a): “Se
e
são números racionais, então
é um número racional.”
Prova direta (muito simples e padrão): escreva
e
com
e
. Então
Como
e
são inteiros e
, segue que
é da forma
, ou seja, racional. Logo (a) é verdadeira.
Passo 4
Análise da alternativa (c): “Se
e
são números racionais, então
é um número racional.”
Prova direta: com
e
como antes,
Novamente
e
são inteiros e
, logo
é racional. Portanto (c) é verdadeira.
Passo 5
Análise da alternativa (b): “Se
e
são números irracionais, então
é um número irracional.”
Aqui é preciso cuidado: a afirmação diz que a soma de dois irracionais é sempre irracional. Para mostrar que essa proposição é falsa basta encontrar um contraexemplo: dois números irracionais cuja soma seja racional.
Um contraexemplo clássico e bem simples é escolher
- Primeiro, lembrando:
é irracional. Posso provar isso rapidamente (prova por contradição): suponha com inteiros sem fator comum. Então , logo . Assim é par, então é par; escreva . Substituindo, implica , então e também são pares. Assim e são ambos pares, contradizendo que não tinham fator comum. Logo não é racional. - Consequentemente
também é irracional (negativo de irracional é irracional). - Mas a soma
, que é racional.
Portanto há exemplos de dois irracionais cuja soma é racional; logo a afirmação (b) é falsa. Concluímos que (b) é uma alternativa incorreta.
Passo 6
Análise da alternativa (d): “Se
é um número racional e
é um número irracional, então
é um número irracional.”
Vamos provar que (d) é verdadeira. Prova por contradição (curta e elegante): suponha
e
. Se
fosse racional, isto é
, então fazendo a diferença
o lado direito é diferença de dois números racionais (pois assumimos
racional e
racional), e como
é fechado sob subtração essa diferença seria racional. Isso contradiz a hipótese de que
é irracional. Logo
não pode ser racional; portanto
é irracional. Assim (d) é verdadeira.
Observação intuitiva: somar um número “com representação fracionária” a outro que não tem essa representação não vai transformar o irracional em racional — se acontecesse seria porque o irracional teria sido uma diferença de racionais, o que é impossível.
Passo 7
Resumo da verificação:
- (a) verdadeira (fechamento dos racionais sob adição).
- (c) verdadeira (fechamento dos racionais sob multiplicação).
- (d) verdadeira (soma de racional com irracional é irracional — prova por contradição).
- (b) falsa (contraexemplo com
e ).
Portanto, a única alternativa incorreta é a que afirma que “a soma de dois irracionais é sempre irracional”.
Resposta
b)