Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:
a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
e) Todo número irracional é real.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre os conjuntos numéricos e pede qual delas é CORRETA. As afirmações são:
a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
e) Todo número irracional é real.
Vou analisar cada uma delas passo a passo e decidir qual é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os conjuntos numéricos que aparecem nas afirmações (forma simples e direta, sem formalismo pesado):
Todo natural é inteiro porque \mathbb{N} são alguns elementos de \mathbb{Z} (ex.: 2\in\mathbb{N} e 2\in\mathbb{Z}).
Todo inteiro é racional porque qualquer inteiro k pode ser escrito como \dfrac{k}{1}, então k\in\mathbb{Q}.
Todo racional é real porque os reais contêm os racionais (construção dos reais inclui os racionais).
Os irracionais são, por definição, reias que não são racionais, logo cada irracional é um real.
Passo 4
Antes de analisar as alternativas, resumo duas implicações práticas que vamos usar:
Se um número está em um conjunto menor (ex.: \mathbb{N}), então ele também está em todos os conjuntos maiores na cadeia de inclusão (ex.: \mathbb{Q},\mathbb{R}).
Para mostrar que uma afirmação do tipo “Todo A é B” é falsa, basta dar um contraexemplo: um elemento de A que não pertença a B.
Passo 5
Analisando a alternativa (a): “Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.”
A parte “Todo número racional é natural” é falsa. Contraexemplo simples: \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}, mas \dfrac{1}{2}\notin\mathbb{N}.
A parte “mas nem todo número natural é racional” também é falsa: todo natural é racional porque, por exemplo, 2=\dfrac{2}{1} mostra que 2\in\mathbb{Q}. Logo a segunda parte é falsa.
Conclusão: (a) é falsa.
Passo 6
Analisando a alternativa (b): “Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.”
A parte “Todo número inteiro é natural” é falsa. Contraexemplo: -1\in\mathbb{Z} mas -1\notin\mathbb{N}.
A parte “mas nem todo número natural é inteiro” também é falsa, porque todo natural é inteiro (\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}).
Conclusão: (b) é falsa.
Passo 7
Analisando a alternativa (c): “Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.”
A parte “Todo número real é natural” é falsa. Contraexemplo: \pi\in\mathbb{R} mas \pi\notin\mathbb{N}.
A parte “mas nem todo número natural é real” é falsa: todo natural é real (\mathbb{N}\subset\mathbb{R}).
Conclusão: (c) é falsa.
Passo 8
Analisando a alternativa (d): “Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.”
A parte “Todo número racional é inteiro” é falsa. Contraexemplo: \dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q} mas \dfrac{3}{2}\notin\mathbb{Z}.
A parte “mas nem todo número inteiro é racional” também é falsa, porque todo inteiro é racional (ex.: 5=\dfrac{5}{1}).
Conclusão: (d) é falsa.
Passo 9
Analisando a alternativa (e): “Todo número irracional é real.”
Isto é verdadeiro por definição: os números irracionais são exatamente aqueles números que pertencem a \mathbb{R} e não pertencem a \mathbb{Q}. Em notação:
\text{irracionais}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
Portanto, todo irracional é necessariamente um número real. Conclusão: (e) é verdadeira.
Passo 10
Resumo final: das cinco alternativas, apenas a alternativa (e) está correta. As outras quatro contêm erros evidenciáveis por contraexemplos simples.