1. Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar que:
    a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
    b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
    c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
    d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
    e) Todo número irracional é real.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre os conjuntos numéricos e pede qual delas é CORRETA. As afirmações são:
a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
e) Todo número irracional é real.
Vou analisar cada uma delas passo a passo e decidir qual é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os conjuntos numéricos que aparecem nas afirmações (forma simples e direta, sem formalismo pesado):
\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\quad\text{(números naturais)}ú
\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\quad\text{(números inteiros)}ú
\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\;\middle|\;p\in\mathbb{Z},\\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}\quad\text{(números racionais)}ú
\mathbb{R}\quad\text{(números reais, que incluem racionais e irracionais)}ú
E os irracionais são, por definição,
\text{irracionais}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
ou seja, números reais que NÃO podem ser escritos como fração de inteiros (ex.: \sqrt{2}, \pi).

Passo 3

Agora as relações básicas de inclusão entre esses conjuntos (essas são propriedades fundamentais e muito usadas):
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
Explicando por quê, de forma simples:
  • Todo natural é inteiro porque \mathbb{N} são alguns elementos de \mathbb{Z} (ex.: 2\in\mathbb{N} e 2\in\mathbb{Z}).
  • Todo inteiro é racional porque qualquer inteiro k pode ser escrito como \dfrac{k}{1}, então k\in\mathbb{Q}.
  • Todo racional é real porque os reais contêm os racionais (construção dos reais inclui os racionais).
  • Os irracionais são, por definição, reias que não são racionais, logo cada irracional é um real.

Passo 4

Antes de analisar as alternativas, resumo duas implicações práticas que vamos usar:
  1. Se um número está em um conjunto menor (ex.: \mathbb{N}), então ele também está em todos os conjuntos maiores na cadeia de inclusão (ex.: \mathbb{Q},\mathbb{R}).
  2. Para mostrar que uma afirmação do tipo “Todo A é B” é falsa, basta dar um contraexemplo: um elemento de A que não pertença a B.

Passo 5

Analisando a alternativa (a): “Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.”
  • A parte “Todo número racional é natural” é falsa. Contraexemplo simples: \dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}, mas \dfrac{1}{2}\notin\mathbb{N}.
  • A parte “mas nem todo número natural é racional” também é falsa: todo natural é racional porque, por exemplo, 2=\dfrac{2}{1} mostra que 2\in\mathbb{Q}. Logo a segunda parte é falsa.
    Conclusão: (a) é falsa.

Passo 6

Analisando a alternativa (b): “Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.”
  • A parte “Todo número inteiro é natural” é falsa. Contraexemplo: -1\in\mathbb{Z} mas -1\notin\mathbb{N}.
  • A parte “mas nem todo número natural é inteiro” também é falsa, porque todo natural é inteiro ( \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}).
    Conclusão: (b) é falsa.

Passo 7

Analisando a alternativa (c): “Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.”
  • A parte “Todo número real é natural” é falsa. Contraexemplo: \pi\in\mathbb{R} mas \pi\notin\mathbb{N}.
  • A parte “mas nem todo número natural é real” é falsa: todo natural é real ( \mathbb{N}\subset\mathbb{R}).
    Conclusão: (c) é falsa.

Passo 8

Analisando a alternativa (d): “Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.”
  • A parte “Todo número racional é inteiro” é falsa. Contraexemplo: \dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q} mas \dfrac{3}{2}\notin\mathbb{Z}.
  • A parte “mas nem todo número inteiro é racional” também é falsa, porque todo inteiro é racional (ex.: 5=\dfrac{5}{1}).
    Conclusão: (d) é falsa.

Passo 9

Analisando a alternativa (e): “Todo número irracional é real.”
Isto é verdadeiro por definição: os números irracionais são exatamente aqueles números que pertencem a \mathbb{R} e não pertencem a \mathbb{Q}. Em notação:
\text{irracionais}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
Portanto, todo irracional é necessariamente um número real. Conclusão: (e) é verdadeira.

Passo 10

Resumo final: das cinco alternativas, apenas a alternativa (e) está correta. As outras quatro contêm erros evidenciáveis por contraexemplos simples.

Resposta

e)

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