(Cesgranrio - RJ)
valor de
para o qual a reta
não intercepta a hipérbole
1 é:
a) 2
b)
c) 1
d) 0
e) -1
a) 2
b)
c) 1
d) 0
e) -1
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e a reta
. Pergunta: qual é o valor de
para o qual a reta
não intercepta (ou seja, não tem ponto em comum com) a hipérbole? Informação relevante dada: as equações
, e
, com
parâmetro real desconhecido.
Passo 2
Para saber se a reta intercepta a hipérbole substituímos a expressão de
da reta na equação da hipérbole e resolvemos em
. Substituindo
em
obtemos:
Agora vamos expandir e simplificar a equação. Expansão de
é
. Então
Simplificando o
que cancela,
Para ficar bem claro: essa é a equação que os valores de
devem satisfazer para que exista interseção entre reta e hipérbole.
Passo 3
Tratamos agora os dois casos possíveis para o parâmetro
.
Caso 1:
.
Se podemos isolar
na equação
. Somando
e dividindo por
(lembrando do sinal), obtemos
Se
Isso é um número real para qualquer
, ou seja, existe exatamente um
real que satisfaz o sistema; portanto a reta intercepta a hipérbole em um ponto (interseção única).
Passo 4
Caso 2:
.
Se a reta é
. Substituindo direto em
temos
Se
ou seja
, que é impossível. Logo não existe
real que satisfaça as duas equações simultaneamente; portanto a reta
não intercepta a hipérbole.
Passo 5
Interpretação geométrica (para fixar a ideia): a hipérbole
tem assíntotas
. A reta
é exatamente uma dessas assíntotas, então ela não corta a hipérbole no plano real (ela “se aproxima” da curva no infinito). Para qualquer
a reta é paralela a essa assíntota deslocada e intersecta a hipérbole em um ponto real, como vimos algebricamente.