(Cesgranrio - RJ) O valor de b para o qual a reta y=x+b não intercepta a hipérbole x^{2}-y^{2}= 1 é:
a) 2
b) \sqrt{2}
c) 1
d) 0
e) -1

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole x^{2}-y^{2}=1 e a reta y=x+b. Pergunta: qual é o valor de b para o qual a reta y=x+b não intercepta (ou seja, não tem ponto em comum com) a hipérbole? Informação relevante dada: as equações \,x^{2}-y^{2}=1, e \,y=x+b, com b parâmetro real desconhecido.

Passo 2

Para saber se a reta intercepta a hipérbole substituímos a expressão de y da reta na equação da hipérbole e resolvemos em x. Substituindo y=x+b em x^{2}-y^{2}=1 obtemos:
x^{2}-(x+b)^{2}=1.
Agora vamos expandir e simplificar a equação. Expansão de (x+b)^{2} é x^{2}+2bx+b^{2}. Então
x^{2}-(x^{2}+2bx+b^{2})=1.
Simplificando o x^{2} que cancela,
-2bx - b^{2}=1.
Para ficar bem claro: essa é a equação que os valores de x devem satisfazer para que exista interseção entre reta e hipérbole.

Passo 3

Tratamos agora os dois casos possíveis para o parâmetro b.
Caso 1: b\neq 0.
Se b\neq 0 podemos isolar x na equação -2bx-b^{2}=1. Somando b^{2} e dividindo por 2b (lembrando do sinal), obtemos
x=-\frac{b^{2}+1}{2b}.
Isso é um número real para qualquer b\neq 0, ou seja, existe exatamente um x real que satisfaz o sistema; portanto a reta intercepta a hipérbole em um ponto (interseção única).

Passo 4

Caso 2: b=0.
Se b=0 a reta é y=x. Substituindo direto em x^{2}-y^{2}=1 temos
x^{2}-x^{2}=1,
ou seja 0=1, que é impossível. Logo não existe x real que satisfaça as duas equações simultaneamente; portanto a reta y=x não intercepta a hipérbole.

Passo 5

Interpretação geométrica (para fixar a ideia): a hipérbole x^{2}-y^{2}=1 tem assíntotas y=\pm x. A reta y=x é exatamente uma dessas assíntotas, então ela não corta a hipérbole no plano real (ela “se aproxima” da curva no infinito). Para qualquer b\neq 0 a reta é paralela a essa assíntota deslocada e intersecta a hipérbole em um ponto real, como vimos algebricamente.

Resposta

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