3^{a} Questão(2,5) Seja A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) uma matriz quadrada. Demonstrar as duas afirmacões seguintes.
(a) Se A é invertível e A B=0 para alguma B \in M_{n \times n}(\mathbb{R}), então B=0;
(b) Se A não é invertível, então existe uma matriz B \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) tal que A B=0 e B \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) e pede para demonstrar duas afirmações:
(a) Se A é invertível e A B=0 para alguma B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}), então B=0.
(b) Se A não é invertível, então existe uma matriz B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) tal que A B=0 e B\neq 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz quadrada n\times n.
  • No item (a) assumimos que A é invertível (porta de saída: existe A^{-1}).
  • No item (b) assumimos que A não é invertível (ou seja, singular).

Passo 2

Definições e propriedades básicas que usaremos (explicação didática):
  • Uma matriz A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) é invertível se existe A^{-1}\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) tal que
A^{-1}A=AA^{-1}=I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n.
  • Multiplicação de matrizes é associativa, e se multiplicamos uma igualdade à esquerda por uma matriz invertível, preservamos a igualdade (porque podemos multiplicar pela inversa).
    Vou usar essas ideias de forma direta no item (a).

Passo 3

Prova do item (a) passo a passo:
  • Hipótese: A é invertível e AB=0 para alguma B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}).
  • Como A tem inversa A^{-1}, multiplico a igualdade AB=0 à esquerda por A^{-1}. Pela associatividade,
A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B.
  • Usando que A^{-1}A=I_n, obtemos
(A^{-1}A)B = I_n B = B.
  • Do outro lado, A^{-1}(AB)=A^{-1}0=0 (multiplicar a matriz nula por qualquer matriz dá a matriz nula).
  • Portanto B=0.
    Comentário didático: a ideia é simples — se A “pode ser desfeita” (tem inversa), então a única forma de AB ser a matriz zero é que B já fosse a matriz zero. É como uma função bijetora: só manda tudo para zero se a entrada for zero.

Passo 4

Preparação para o item (b): entender o que significa A não ser invertível.
  • Se A não é invertível (chamamos também de singular), então suas colunas são linearmente dependentes. Vou explicar isso: as colunas de A são vetores em \mathbb{R}^n. Se são linearmente independentes, então a transformação linear x\mapsto Ax seria injetora e A teria inversa; assim, não invertível implica que existe uma combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor zero.
  • Escrever isso de forma algebraica: existirá um vetor v\in\mathbb{R}^n, v\neq 0, tal que
Av=0.
Isto é, o núcleo (kernel) de A não é trivial.

Passo 5

Explicação detalhada de por que existe v\neq 0 com Av=0 quando A é singular (mais didático):
  • Seja A=[c_1\;c_2\;\dots\;c_n] onde cada c_j\in\mathbb{R}^n é a j-ésima coluna de A.
  • A expressão Av para v=(v_1,\dots,v_n)^T é
Av = v_1 c_1 + v_2 c_2 + \cdots + v_n c_n.
  • Se as colunas fossem linearmente independentes, a única solução para Av=0 seria v=0. Mas como A não é invertível, as colunas são linearmente dependentes, ou seja, existem escalares não todos nulos v_1,\dots,v_n tais que a combinação acima é zero. Logo existe v\neq 0 com Av=0.
    Exemplo pequeno para fixar a ideia: se duas colunas são iguais, por exemplo c_1=c_2, então escolho v=(1,-1,0,\dots,0)^T e Av= c_1-c_2=0. Isso ilustra que dependência gera vetor não-trivial no núcleo.

Passo 6

Construção explícita da matriz B para provar o item (b):
  • Tome v\in\mathbb{R}^n com v\neq 0 e Av=0 (como argumentado no passo anterior).
  • Defina a matriz B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) cujas colunas são
B = [\,v\;,\;0\;,\;0\;,\;\dots\;,\;0\,],
ou seja, a primeira coluna é v e todas as outras colunas são o vetor zero.
  • Observação: B\neq 0 porque sua primeira coluna é v\neq 0.

Passo 7

Verificação de que AB=0 com a construção acima:
  • Escrevendo B=[b_1\;b_2\;\dots\;b_n] temos b_1=v e b_j=0 para j\ge 2.
  • Lembrando a propriedade de multiplicação de matrizes: as colunas de AB são A b_1, A b_2,\dots,A b_n. Portanto
AB = [A b_1\;,\;A b_2\;,\;\dots\;,\;A b_n].
  • Como A b_1 = A v = 0 por construção e A b_j = A0 = 0 para j\ge 2, todas as colunas de AB são vetores nulos. Logo AB é a matriz zero:
AB=0.
  • Assim encontramos B\neq 0 com AB=0, concluindo o item (b).

Resposta

(a) B=0
(b) Por exemplo, escolha v\neq 0 com Av=0 (existe pois A não é invertível) e defina B=[v,0,\dots,0]. Então B\neq 0 e AB=0.

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