Questão(2,5) Seja
uma matriz quadrada. Demonstrar as duas afirmacões seguintes.
(a) Se
é invertível e
para alguma
, então
;
(b) Se
não é invertível, então existe uma matriz
tal que
e
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
e pede para demonstrar duas afirmações:
(a) Se é invertível e
para alguma
, então
.
(b) Se não é invertível, então existe uma matriz
tal que
e
.
(a) Se
(b) Se
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma matriz quadrada . - No item (a) assumimos que
é invertível (porta de saída: existe ). - No item (b) assumimos que
não é invertível (ou seja, singular).
Passo 2
Definições e propriedades básicas que usaremos (explicação didática):
- Uma matriz
é invertível se existe tal que
onde
é a matriz identidade de ordem
.
- Multiplicação de matrizes é associativa, e se multiplicamos uma igualdade à esquerda por uma matriz invertível, preservamos a igualdade (porque podemos multiplicar pela inversa).
Vou usar essas ideias de forma direta no item (a).
Passo 3
Prova do item (a) passo a passo:
- Hipótese:
é invertível e para alguma . - Como
tem inversa , multiplico a igualdade à esquerda por . Pela associatividade,
- Usando que
, obtemos
- Do outro lado,
(multiplicar a matriz nula por qualquer matriz dá a matriz nula). - Portanto
.
Comentário didático: a ideia é simples — se“pode ser desfeita” (tem inversa), então a única forma de ser a matriz zero é que já fosse a matriz zero. É como uma função bijetora: só manda tudo para zero se a entrada for zero.
Passo 4
Preparação para o item (b): entender o que significa
não ser invertível.
- Se
não é invertível (chamamos também de singular), então suas colunas são linearmente dependentes. Vou explicar isso: as colunas de são vetores em . Se são linearmente independentes, então a transformação linear seria injetora e teria inversa; assim, não invertível implica que existe uma combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor zero. - Escrever isso de forma algebraica: existirá um vetor
, , tal que
Isto é, o núcleo (kernel) de
não é trivial.
Passo 5
Explicação detalhada de por que existe
com
quando
é singular (mais didático):
- Seja
onde cada é a -ésima coluna de . - A expressão
para é
- Se as colunas fossem linearmente independentes, a única solução para
seria . Mas como não é invertível, as colunas são linearmente dependentes, ou seja, existem escalares não todos nulos tais que a combinação acima é zero. Logo existe com .
Exemplo pequeno para fixar a ideia: se duas colunas são iguais, por exemplo, então escolho e . Isso ilustra que dependência gera vetor não-trivial no núcleo.
Passo 6
Construção explícita da matriz
para provar o item (b):
- Tome
com e (como argumentado no passo anterior). - Defina a matriz
cujas colunas são
ou seja, a primeira coluna é
e todas as outras colunas são o vetor zero.
- Observação:
porque sua primeira coluna é .
Passo 7
Verificação de que
com a construção acima:
- Escrevendo
temos e para . - Lembrando a propriedade de multiplicação de matrizes: as colunas de
são . Portanto
- Como
por construção e para , todas as colunas de são vetores nulos. Logo é a matriz zero:
- Assim encontramos
com , concluindo o item (b).
Resposta
(a)
(b) Por exemplo, escolha com
(existe pois
não é invertível) e defina
. Então
e
.
(b) Por exemplo, escolha