Deduza a equação da reta das parábolas que apresentam foco e diretriz seguintes:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá quatro pares “foco + diretriz” e pede: para cada par, deduzir a equação da parábola que tem aquele foco e aquela diretriz. Os dados são:
- a) foco
e diretriz (ou seja, ); - b) foco
e diretriz (ou seja, ); - c) foco
e diretriz (ou seja, ); - d) foco
e diretriz (ou seja, ).
O que precisamos encontrar em cada item é a equação cartesiana da parábola correspondente.
Passo 2
Relembrando a definição útil: uma parábola é o conjunto dos pontos cujo distância ao foco é igual à distância à diretriz. Para aplicar isso usamos duas fórmulas básicas:
- Distância entre dois pontos
e :
- Distância de um ponto
à reta dada por :
No caso de uma diretriz horizontal
, a distância de
à diretriz é
. No caso de diretriz vertical
, a distância é
.
Ao impor a igualdade “distância ao foco = distância à diretriz” e elevar ambos os lados ao quadrado (para eliminar a raiz e o valor absoluto), obtemos uma equação algébrica que podemos simplificar até a forma final. Vamos aplicar isso item por item.
Passo 3
(a) Aplicando a definição para foco
e diretriz
. A igualdade de distâncias é
Ou seja, em forma simplificada:
Passo 4
Ainda (a). Elevando ao quadrado e simplificando:
Expandindo os quadrados:
Cancelando
dos dois lados e isolando
:
Fatorando o lado direito:
Essa é a equação final do item (a). É do tipo
, com vértice
e
(abre para cima), conferindo que o foco fica em
.
Passo 5
(b) Para foco
e diretriz
, escrevemos a igualdade de distâncias:
Ou seja,
Passo 6
Ainda (b). Elevando ao quadrado e simplificando:
Expandindo:
Cancelar
e
e isolar
:
Forma final do item (b):
Esta é da forma
com
e
, ou seja, vértice em
e parábola abrindo para baixo (foco em
).
Passo 7
(c) Para foco
e diretriz
, a igualdade é
Ou seja,
Passo 8
Ainda (c). Elevando ao quadrado e simplificando:
Expandindo:
Cancelando
e reorganizando:
Escrevendo de forma mais canônica:
Essa é a equação do item (c). É do tipo
com
, vértice em
e abre para a esquerda (foco em
).
Passo 9
(d) Para foco
e diretriz
, a igualdade de distâncias é
Ou seja,
Passo 10
Ainda (d). Elevando ao quadrado e simplificando:
Expandindo:
Cancelando
e
, obtemos:
Essa é a equação final do item (d). É da forma
com
e
, vértice em
e parábola abrindo para a esquerda (foco
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)