Deduza a equação da reta das parábolas que apresentam foco e diretriz seguintes:
a) F(-3,-2) ; y+4=0
b) F(0,-3) ; y-3=0
c) F(0,5) ; x-2=0
d) F(-1,0) ; x-1=0

Passo 1

O enunciado dá quatro pares “foco + diretriz” e pede: para cada par, deduzir a equação da parábola que tem aquele foco e aquela diretriz. Os dados são:
  • a) foco F(-3,-2) e diretriz y+4=0 (ou seja, y=-4);
  • b) foco F(0,-3) e diretriz y-3=0 (ou seja, y=3);
  • c) foco F(0,5) e diretriz x-2=0 (ou seja, x=2);
  • d) foco F(-1,0) e diretriz x-1=0 (ou seja, x=1).
O que precisamos encontrar em cada item é a equação cartesiana da parábola correspondente.

Passo 2

Relembrando a definição útil: uma parábola é o conjunto dos pontos cujo distância ao foco é igual à distância à diretriz. Para aplicar isso usamos duas fórmulas básicas:
  1. Distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.
  1. Distância de um ponto (x,y) à reta dada por Ax+By+C=0:
\text{dist} = \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
No caso de uma diretriz horizontal y=k, a distância de (x,y) à diretriz é |y-k|. No caso de diretriz vertical x=k, a distância é |x-k|.
Ao impor a igualdade “distância ao foco = distância à diretriz” e elevar ambos os lados ao quadrado (para eliminar a raiz e o valor absoluto), obtemos uma equação algébrica que podemos simplificar até a forma final. Vamos aplicar isso item por item.

Passo 3

(a) Aplicando a definição para foco F(-3,-2) e diretriz y=-4. A igualdade de distâncias é
\sqrt{(x-(-3))^2 + (y-(-2))^2} = |y - (-4)|.
Ou seja, em forma simplificada:
\sqrt{(x+3)^2 + (y+2)^2} = |y+4|.

Passo 4

Ainda (a). Elevando ao quadrado e simplificando:
(x+3)^2 + (y+2)^2 = (y+4)^2.
Expandindo os quadrados:
(x+3)^2 + (y^2 + 4y +4) = y^2 + 8y +16.
Cancelando y^2 dos dois lados e isolando (x+3)^2:
(x+3)^2 = 8y +16 -4y -4 = 4y +12.
Fatorando o lado direito:
(x+3)^2 = 4(y+3).
Essa é a equação final do item (a). É do tipo (x-h)^2 = 4p(y-k), com vértice (-3,-3) e p=1 (abre para cima), conferindo que o foco fica em (-3,-2).

Passo 5

(b) Para foco F(0,-3) e diretriz y=3, escrevemos a igualdade de distâncias:
\sqrt{(x-0)^2 + (y+3)^2} = |y-3|.
Ou seja,
\sqrt{x^2 + (y+3)^2} = |y-3|.

Passo 6

Ainda (b). Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2 + (y+3)^2 = (y-3)^2.
Expandindo:
x^2 + (y^2 +6y +9) = y^2 -6y +9.
Cancelar y^2 e 9 e isolar x^2:
x^2 +6y = -6y \quad\Rightarrow\quad x^2 = -12y.
Forma final do item (b):
x^2 = -12y.
Esta é da forma (x-h)^2 = 4p(y-k) com h=0,k=0 e 4p=-12\Rightarrow p=-3, ou seja, vértice em (0,0) e parábola abrindo para baixo (foco em (0,-3)).

Passo 7

(c) Para foco F(0,5) e diretriz x=2, a igualdade é
\sqrt{(x-0)^2 + (y-5)^2} = |x-2|.
Ou seja,
\sqrt{x^2 + (y-5)^2} = |x-2|.

Passo 8

Ainda (c). Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2 + (y-5)^2 = (x-2)^2.
Expandindo:
x^2 + (y^2 -10y +25) = x^2 -4x +4.
Cancelando x^2 e reorganizando:
(y-5)^2 = -4x +4.
Escrevendo de forma mais canônica:
(y-5)^2 = -4(x-1).
Essa é a equação do item (c). É do tipo (y-k)^2 = 4p(x-h) com 4p=-4\Rightarrow p=-1, vértice em (1,5) e abre para a esquerda (foco em (0,5)).

Passo 9

(d) Para foco F(-1,0) e diretriz x=1, a igualdade de distâncias é
\sqrt{(x+1)^2 + (y-0)^2} = |x-1|.
Ou seja,
\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = |x-1|.

Passo 10

Ainda (d). Elevando ao quadrado e simplificando:
(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2.
Expandindo:
(x^2 +2x +1) + y^2 = (x^2 -2x +1).
Cancelando x^2 e 1, obtemos:
2x + y^2 = -2x \quad\Rightarrow\quad y^2 = -4x.
Essa é a equação final do item (d). É da forma (y-k)^2 = 4p(x-h) com h=0,k=0 e 4p=-4\Rightarrow p=-1, vértice em (0,0) e parábola abrindo para a esquerda (foco (-1,0)).

Resposta

(a) (x+3)^2 = 4(y+3)
(b) x^2 = -12y
(c) (y-5)^2 = -4(x-1)
(d) y^2 = -4x

Exercícios relacionados