1. Considere
A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad S:\left\{\begin{array}{c} x-y+2 z+3 t=0 \\\\ -x+y+z \\\ =0 \\\\ 2 z+t=0 \\\\ 2 x-2 y+z+3 t=0 \end{array}\right.
a) Calcule o determinante \operatorname{det}(A) da matriz A.
b) Determine se A é inversível ou não. Justifique.
c) Determine se S tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Justifique.

Solução:

a) Fazendo o Desenvolvimento de Laplace pela terceira linha, obtemos
\begin{aligned} \operatorname{det}(A) & =\left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{array}\right|=2 \cdot\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 3 \end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right| \\\ & =2 \cdot(3+6-6-3)-(1-2+4-4+2-1)=0 \end{aligned}
b) Como \operatorname{det}(A)=0, temos que A não é inversível.
c) S é um sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A. Como A não é inversível, temos que S tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A e o sistema linear homogêneo S. Perguntas:
  • a) Calcular \det(A).
  • b) Dizer se A é inversível e justificar.
  • c) Determinar se S tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução e justificar.
Informações fornecidas (vou copiar exatamente do enunciado):
A matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e o sistema homogêneo S cujas equações são
\begin{cases} x-y+2z+3t=0,\\[4pt] -x+y+z=0,\\[4pt] 2z+t=0,\\[4pt] 2x-2y+z+3t=0. \end{cases}]

Passo 2

Estratégia para a parte (a): vou calcular \det(A) usando o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da terceira linha. Explico a ideia de Laplace de forma curta e prática:
  • Para uma matriz 4\times4, a expansão de Laplace pela linha i diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} a_{ij}C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da posição (i,j) e C_{ij} é o cofator correspondente.
  • O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor (determinante da matriz que sobra ao retirar a linha i e a coluna j).
  • Escolhemos a terceira linha porque nela há dois zeros ( a_{31}=0 e a_{32}=0), o que simplifica a soma.

Passo 3

Aplicando a expansão de Laplace pela terceira linha ( i=3). Os elementos da terceira linha são a_{31}=0, a_{32}=0, a_{33}=2, a_{34}=1. Logo
\det(A)=0\cdot C_{31}+0\cdot C_{32}+2\cdot C_{33}+1\cdot C_{34}=2C_{33}+C_{34}.
Agora preciso calcular C_{33} e C_{34}.

Passo 4

Cálculo de C_{33}.
  • O sinal é (-1)^{3+3}=(-1)^6=+1.
  • O menor M_{33} é o determinante da matriz obtida cortando linha 3 e coluna 3:
M_{33}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 2 & -2 & 3 \end{vmatrix}.
Vou calcular esse determinante por regra de Sarrus (fácil para 3\times3). Se escrevermos os termos:
positivos:
1\cdot1\cdot3=3,\qquad (-1)\cdot0\cdot2=0,\qquad 3\cdot(-1)\cdot(-2)=6,
soma positiva =3+0+6=9.
negativos:
3\cdot1\cdot2=6,\qquad 1\cdot0\cdot(-2)=0,\qquad (-1)\cdot(-1)\cdot3=3,
soma negativa =6+0+3=9.
Portanto
M_{33}=9-9=0.
Como o sinal é +1, obtemos C_{33}=+M_{33}=0.

Passo 5

Cálculo de C_{34}.
  • O sinal é (-1)^{3+4}=(-1)^7=-1.
  • O menor M_{34} é o determinante da matriz obtida cortando linha 3 e coluna 4:
M_{34}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}.
De novo por Sarrus:
positivos:
1\cdot1\cdot1=1,\qquad (-1)\cdot1\cdot2=-2,\qquad 2\cdot(-1)\cdot(-2)=4,
soma positiva =1-2+4=3.
negativos:
2\cdot1\cdot2=4,\qquad 1\cdot1\cdot(-2)=-2,\qquad (-1)\cdot(-1)\cdot1=1,
soma negativa =4-2+1=3.
Portanto
M_{34}=3-3=0.
Com o sinal -1, obtemos C_{34}=(-1)\cdot 0=0.

Passo 6

Voltando para a expressão de \det(A):
\det(A)=2C_{33}+C_{34}=2\cdot 0 + 0 = 0.
Concluímos que \det(A)=0.

Passo 7

Resposta para a parte (b) — inversibilidade.
Explico o critério: uma matriz quadrada A é inversível (tem inversa) se, e somente se, \det(A)\neq 0. Intuição rápida: se existe A^{-1}, então \det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1, logo \det(A)\neq0. E, de outro lado, quando \det(A)\neq0 existe fórmula para a inversa (p.ex. usando adjunta), então a condição é equivalente.
Como acabamos de obter \det(A)=0, segue que A não é inversível.

Passo 8

Resposta para a parte (c) — soluções do sistema homogêneo S.
Fatos fundamentais sobre sistemas homogêneos A\mathbf{x}=\mathbf{0}:
  • O sistema homogêneo sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
  • Se A é invertível, então a única solução é a trivial (porque multiplicando por A^{-1} \mathbf{x}=\mathbf{0}).
  • Se A não é invertível (isto é, \det(A)=0), então o núcleo (espaço solução) tem dimensão \ge 1, ou seja existem soluções não triviais. Como o conjunto de soluções de um sistema homogêneo forma um subespaço vetorial, a existência de uma solução não trivial implica infinitas soluções (qualquer múltiplo e combinações lineares dos vetores livres geram mais soluções).
Aplicando ao nosso caso: já vimos que A não é inversível ( \det(A)=0). Portanto o sistema homogêneo S tem soluções não triviais e, por ser subespaço, tem infinitas soluções.

Resposta

a) \det(A)=0
b) A não é inversível.
c) S tem infinitas soluções.

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