a) Calcule o determinante \operatorname{det}(A) da matriz A.
b) Determine se A é inversível ou não. Justifique.
c) Determine se S tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Justifique.
Solução:
a) Fazendo o Desenvolvimento de Laplace pela terceira linha, obtemos
b) Como \operatorname{det}(A)=0, temos que A não é inversível.
c) S é um sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A. Como A não é inversível, temos que S tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz A e o sistema linear homogêneo S. Perguntas:
a) Calcular \det(A).
b) Dizer se A é inversível e justificar.
c) Determinar se S tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução e justificar.
Informações fornecidas (vou copiar exatamente do enunciado):
Estratégia para a parte (a): vou calcular \det(A) usando o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da terceira linha. Explico a ideia de Laplace de forma curta e prática:
Para uma matriz 4\times4, a expansão de Laplace pela linha i diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} a_{ij}C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da posição (i,j) e C_{ij} é o cofator correspondente.
O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor (determinante da matriz que sobra ao retirar a linha i e a coluna j).
Escolhemos a terceira linha porque nela há dois zeros (a_{31}=0 e a_{32}=0), o que simplifica a soma.
Passo 3
Aplicando a expansão de Laplace pela terceira linha (i=3). Os elementos da terceira linha são a_{31}=0, a_{32}=0, a_{33}=2, a_{34}=1. Logo
Explico o critério: uma matriz quadrada A é inversível (tem inversa) se, e somente se, \det(A)\neq 0. Intuição rápida: se existe A^{-1}, então \det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1, logo \det(A)\neq0. E, de outro lado, quando \det(A)\neq0 existe fórmula para a inversa (p.ex. usando adjunta), então a condição é equivalente.
Como acabamos de obter \det(A)=0, segue que A não é inversível.
Passo 8
Resposta para a parte (c) — soluções do sistema homogêneo S.
Fatos fundamentais sobre sistemas homogêneos A\mathbf{x}=\mathbf{0}:
O sistema homogêneo sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
Se A é invertível, então a única solução é a trivial (porque multiplicando por A^{-1} dá \mathbf{x}=\mathbf{0}).
Se A não é invertível (isto é, \det(A)=0), então o núcleo (espaço solução) tem dimensão \ge 1, ou seja existem soluções não triviais. Como o conjunto de soluções de um sistema homogêneo forma um subespaço vetorial, a existência de uma solução não trivial implica infinitas soluções (qualquer múltiplo e combinações lineares dos vetores livres geram mais soluções).
Aplicando ao nosso caso: já vimos que A não é inversível (\det(A)=0). Portanto o sistema homogêneo S tem soluções não triviais e, por ser subespaço, tem infinitas soluções.
Resposta
a) \det(A)=0
b) A não é inversível.
c) S tem infinitas soluções.