(CESPE 2018/SEFAZ-RS) Se 7 kg de feijão forem distribuídos para até quatro famílias, de modo que cada uma delas receba um número inteiro de quilos, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se distribuírem esses 7 kg de feijão para essas famílias será igual a
а) 30 .
b) 120 .
c) 330 .
d) 820 .
e) 1.320 .

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Informações relevantes:
  • Quantidade total de feijão: \,7 kg.
  • Máximo de famílias que podem receber feijão: \,4.
  • Cada família recebe um número inteiro de quilos (ou seja, valores inteiros).
  • As famílias são distintas (cada família é identificável — família A, B, C, D).
    O que o enunciado pergunta: “Qual a quantidade de maneiras distintas de distribuir os \,7 kg de feijão entre essas até \,4 famílias, com cada família recebendo um número inteiro de quilos?” (interpreta-se que uma família pode receber 0 kg).

Passo 2

Interpretação do problema e escolha do método (explicação didática e direta).
  • Como as famílias são distintas e podemos atribuir a cada uma um número inteiro não negativo de quilos, o problema é contar as soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+x_3+x_4=7,
onde x_i é a quantidade (inteira, em kg) dada à família i.
  • Para contar soluções inteiras não negativas dessa forma usamos um método combinatório clássico chamado “stars and bars” (ou o resultado combinatório equivalente). Este método calcula o número de maneiras de repartir n unidades idênticas entre k recipientes distintos, permitindo recipientes vazios.

Passo 3

Enunciado e demonstração curta da fórmula que vamos usar (aulasobre o conceito).
  • Resultado geral: o número de soluções inteiras não negativas da equação
x_1+x_2+\dots+x_k=n
é
\binom{n+k-1}{k-1}.
  • O que significam as variáveis:
    • n é o total de unidades idênticas a distribuir (aqui n=7).
    • k é o número de recipientes distintos (aqui k=4).
  • Intuição simples (explicação do porquê): imagine as n unidades como n estrelas em linha e use k-1 barras para separar as porções das k famílias. Uma arrumação de n estrelas e k-1 barras determina uma distribuição; o total de símbolos é n+(k-1), e basta escolher as posições das k-1 barras entre essas posições, o que dá \binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso concreto.
  • Aqui n=7 e k=4. Substituindo na fórmula:
\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{7+4-1}{4-1}=\binom{10}{3}.

Passo 5

Cálculo passo a passo do binomial \binom{10}{3}.
  • Pela definição,
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
  • Calculemos em etapas:
    • 10\cdot9\cdot8=720.
    • 3\cdot2\cdot1=6.
    • Então \dfrac{720}{6}=120.
  • Portanto a contagem obtida pelo método é \binom{10}{3}=120.

Passo 6

Um exemplo pequeno para fixar a ideia (aprender fazendo).
  • Exemplo: distribuir 2 kg entre 3 famílias (permitindo 0 kg). Aplicando a fórmula dá
\binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6.
Listando explicitamente (as triplas (x_1,x_2,x_3)): (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) — seis maneiras, como a fórmula previu. Isso mostra o raciocínio de estrelas e barras funcionando em prática.

Resposta

b) 120.

Exercícios relacionados