(CESPE 2018/SEFAZ-RS) Se 7 kg de feijão forem distribuídos para até quatro famílias, de modo que cada uma delas receba um número inteiro de quilos, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se distribuírem esses 7 kg de feijão para essas famílias será igual a
а) 30 .
b) 120 .
c) 330 .
d) 820 .
e) 1.320 .
а) 30 .
b) 120 .
c) 330 .
d) 820 .
e) 1.320 .
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Informações relevantes:
- Quantidade total de feijão:
kg. - Máximo de famílias que podem receber feijão:
. - Cada família recebe um número inteiro de quilos (ou seja, valores inteiros).
- As famílias são distintas (cada família é identificável — família A, B, C, D).
O que o enunciado pergunta: “Qual a quantidade de maneiras distintas de distribuir oskg de feijão entre essas até famílias, com cada família recebendo um número inteiro de quilos?” (interpreta-se que uma família pode receber kg).
Passo 2
Interpretação do problema e escolha do método (explicação didática e direta).
- Como as famílias são distintas e podemos atribuir a cada uma um número inteiro não negativo de quilos, o problema é contar as soluções inteiras não negativas da equação
onde
é a quantidade (inteira, em kg) dada à família
.
- Para contar soluções inteiras não negativas dessa forma usamos um método combinatório clássico chamado “stars and bars” (ou o resultado combinatório equivalente). Este método calcula o número de maneiras de repartir
unidades idênticas entre recipientes distintos, permitindo recipientes vazios.
Passo 3
Enunciado e demonstração curta da fórmula que vamos usar (aulasobre o conceito).
- Resultado geral: o número de soluções inteiras não negativas da equação
é
- O que significam as variáveis:
-
é o total de unidades idênticas a distribuir (aqui ). -
é o número de recipientes distintos (aqui ).
-
- Intuição simples (explicação do porquê): imagine as
unidades como estrelas em linha e use barras para separar as porções das famílias. Uma arrumação de estrelas e barras determina uma distribuição; o total de símbolos é , e basta escolher as posições das barras entre essas posições, o que dá .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso concreto.
- Aqui
e . Substituindo na fórmula:
Passo 5
Cálculo passo a passo do binomial
.
- Pela definição,
- Calculemos em etapas:
-
. -
. - Então
.
-
- Portanto a contagem obtida pelo método é
.
Passo 6
Um exemplo pequeno para fixar a ideia (aprender fazendo).
- Exemplo: distribuir
kg entre famílias (permitindo kg). Aplicando a fórmula dá
Listando explicitamente (as triplas
):
— seis maneiras, como a fórmula previu. Isso mostra o raciocínio de estrelas e barras funcionando em prática.
Resposta
b) 120.