Em uma sala há 7 lâmpadas. De quantos modos pode ser iluminada a sala?
Passo 1
O enunciado dá que na sala há 7 lâmpadas. A pergunta é: “De quantos modos pode ser iluminada a sala?”
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Número de lâmpadas:
. - Cada lâmpada pode estar em dois estados possíveis (acesa ou apagada).
- O que se pede é o número de “modos” (configurações) diferentes de iluminação da sala.
Passo 2
Primeiro preciso lidar com uma ambiguidade do enunciado: a expressão “ser iluminada” pode ser interpretada de duas formas:
- Interpretação A: contar todas as configurações possíveis das 7 lâmpadas, inclusive a situação em que todas estão apagadas (sala escura).
- Interpretação B: contar apenas as configurações em que a sala efetivamente fica iluminada, isto é, pelo menos uma lâmpada acesa (exclui a configuração todas apagadas).
Neste tipo de problema, o sentido mais natural de “ser iluminada” é que haja luz, então vou adotar a Interpretação B (pelo menos uma lâmpada acesa). Vou explicar também como ficaría o resultado na outra interpretação.
Passo 3
Modelagem combinatória simples: cada lâmpada tem duas opções independentes:
- estado “acesa”,
- estado “apagada”.
Chamar de independentes significa que a escolha do estado de uma lâmpada não restringe as escolhas das outras. Para traduzir isso em contagem usamos o princípio fundamental da contagem (regra do produto): se um experimento tem
opções e outro independente tem
opções, então os dois juntos têm
opções.
Passo 4
Pequeno exemplo para fixar a ideia: com
lâmpadas, as configurações possíveis são
ou seja
configurações no total. Dessas,
têm pelo menos uma acesa.
Passo 5
Aplicando ao caso com
lâmpadas: pelo princípio do produto, o número total de configurações (contando todas, inclusive todas apagadas) é
Calculando a potência:
Passo 6
Como escolhemos a interpretação que exige pelo menos uma lâmpada acesa (sala iluminada), devemos excluir a configuração em que todas estão apagadas — há exatamente
dessa configuração. Portanto o número de modos que deixam a sala iluminada é
Passo 7
Resumo rápido e dica para a prova: para
lâmpadas o número de modos com pelo menos uma acesa é
. Se o enunciado pedir todas as configurações possíveis (incluindo escuro), a resposta é
. Não se esqueça de verificar se o problema exclui ou não a situação “tudo apagado”.