Em uma sala há 7 lâmpadas. De quantos modos pode ser iluminada a sala?

Passo 1

O enunciado dá que na sala há 7 lâmpadas. A pergunta é: “De quantos modos pode ser iluminada a sala?”
Informações relevantes do enunciado:
  • Número de lâmpadas: \;7.
  • Cada lâmpada pode estar em dois estados possíveis (acesa ou apagada).
  • O que se pede é o número de “modos” (configurações) diferentes de iluminação da sala.

Passo 2

Primeiro preciso lidar com uma ambiguidade do enunciado: a expressão “ser iluminada” pode ser interpretada de duas formas:
  • Interpretação A: contar todas as configurações possíveis das 7 lâmpadas, inclusive a situação em que todas estão apagadas (sala escura).
  • Interpretação B: contar apenas as configurações em que a sala efetivamente fica iluminada, isto é, pelo menos uma lâmpada acesa (exclui a configuração todas apagadas).
Neste tipo de problema, o sentido mais natural de “ser iluminada” é que haja luz, então vou adotar a Interpretação B (pelo menos uma lâmpada acesa). Vou explicar também como ficaría o resultado na outra interpretação.

Passo 3

Modelagem combinatória simples: cada lâmpada tem duas opções independentes:
  • estado “acesa”,
  • estado “apagada”.
Chamar de independentes significa que a escolha do estado de uma lâmpada não restringe as escolhas das outras. Para traduzir isso em contagem usamos o princípio fundamental da contagem (regra do produto): se um experimento tem a opções e outro independente tem b opções, então os dois juntos têm a\cdot b opções.

Passo 4

Pequeno exemplo para fixar a ideia: com 2 lâmpadas, as configurações possíveis são
\{\text{00 (ambas apagadas), 01, 10, 11 (ambas acesas)}\},
ou seja 2\times 2 = 2^2 = 4 configurações no total. Dessas, 2^2-1=3 têm pelo menos uma acesa.

Passo 5

Aplicando ao caso com \;7 lâmpadas: pelo princípio do produto, o número total de configurações (contando todas, inclusive todas apagadas) é
2^7.
Calculando a potência:
2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32,\quad 2^6=64,\quad 2^7=128.

Passo 6

Como escolhemos a interpretação que exige pelo menos uma lâmpada acesa (sala iluminada), devemos excluir a configuração em que todas estão apagadas — há exatamente 1 dessa configuração. Portanto o número de modos que deixam a sala iluminada é
2^7 - 1 = 128 - 1 = 127.

Passo 7

Resumo rápido e dica para a prova: para n lâmpadas o número de modos com pelo menos uma acesa é \;2^n - 1. Se o enunciado pedir todas as configurações possíveis (incluindo escuro), a resposta é \;2^n. Não se esqueça de verificar se o problema exclui ou não a situação “tudo apagado”.

Resposta

127

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