1. Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo que 8 delas tem o mesmo peso e uma moeda é mais leve que as demais. Usando duas vezes uma balança de dois pratos, encontrar a moeda mais leve.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • 9 moedas idênticas visualmente.
  • Exatamente 8 delas têm o mesmo peso e uma é mais leve.
  • Pode-se usar uma balança de dois pratos apenas 2 vezes.
  • Pedido: encontrar qual é a moeda mais leve usando essas 2 pesagens.

Passo 2

Primeiro passo prático: marcar mentalmente ou rotular as moedas para não se confundir na prova. Por exemplo, nomear as moedas como
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
Agora divida as 9 moedas em 3 grupos de 3 moedas cada:
  • Grupo A=\{1,2,3\}
  • Grupo B=\{4,5,6\}
  • Grupo C=\{7,8,9\}
Explicação didática: a ideia de dividir em três grupos iguais vem do fato que cada pesagem na balança tem três resultados possíveis: prato esquerdo mais leve, pratos iguais, prato direito mais leve. Com 2 pesagens isso permite distinguir até 3^2 possibilidades (vou explicar isso melhor depois).

Passo 3

Faça a primeira pesagem: coloque o grupo A no prato esquerdo e o grupo B no prato direito, isto é, pese A contra B.
Interpretação dos três resultados possíveis:
  • Se os pratos empatarem (ou seja, A e B têm o mesmo peso), então a moeda mais leve não está em A nem em B. Logo a moeda mais leve está no grupo C=\{7,8,9\}.
  • Se o prato contendo A ficar mais leve, então a moeda mais leve está em A=\{1,2,3\}.
  • Se o prato contendo B ficar mais leve, então a moeda mais leve está em B=\{4,5,6\}.
Observação didática: essa conclusão é direta porque todos os membros de um grupo pesam o mesmo exceto a possível moeda mais leve; portanto, se dois grupos de 3 empatarem, a moeda diferente está no terceiro grupo. Se um grupo for mais leve, a moeda diferente está nesse grupo mais leve.

Passo 4

Agora use a segunda (e última) pesagem para identificar a moeda específica dentro do grupo suspeito de 3 moedas. O procedimento padrão: pegue duas moedas desse grupo e compare uma contra a outra.
Vou explicar com os três casos possíveis da primeira pesagem:
Caso 1 — primeira pesagem deu empate (logo suspeito C=\{7,8,9\}):
  • Segunda pesagem: pese 7 contra 8.
    • Se 7 e 8 empatarem, então a mais leve é 9.
    • Se 7 for mais leve, então a mais leve é 7.
    • Se 8 for mais leve, então a mais leve é 8.
Caso 2 — primeira pesagem mostrou que A é mais leve (suspeito A=\{1,2,3\}):
  • Segunda pesagem: pese 1 contra 2.
    • Se 1 e 2 empatarem, então a mais leve é 3.
    • Se 1 for mais leve, então a mais leve é 1.
    • Se 2 for mais leve, então a mais leve é 2.
Caso 3 — primeira pesagem mostrou que B é mais leve (suspeito B=\{4,5,6\}):
  • Segunda pesagem: pese 4 contra 5.
    • Se 4 e 5 empatarem, então a mais leve é 6.
    • Se 4 for mais leve, então a mais leve é 4.
    • Se 5 for mais leve, então a mais leve é 5.
Explicação didática: comparar duas das três do grupo é suficiente porque, se elas empatarem, a terceira é necessariamente a mais leve; se não empatarem, o prato que subir (ou seja, for mais leve) indica diretamente qual das duas é a mais leve.

Passo 5

Breve justificativa teórica de por que isso é possível com 2 pesagens: cada pesagem tem 3 resultados distintos (esquerdo mais leve, igual, direito mais leve). Com 2 pesagens distintas pode-se distinguir até 3\times3=3^2 cenários diferentes, ou seja,
3^2 = 9.
Como há exatamente 9 possibilidades (a moeda leve pode ser qualquer uma das 9), o método acima é ótimo e encontra sempre a moeda mais leve em somente 2 pesagens.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (memorização e execução):
  • Memorize: “pese 3 contra 3”; se empatar, pese 1 contra 1 do grupo restante; se não empatar, pese 1 contra 1 do grupo mais leve. Isso é curto e fácil de aplicar sob pressão.
  • Rotule mentalmente as moedas antes de começar para não se perder ao ler resultados.
  • Lembre que uma balança de dois pratos só informa comparação de pesos, por isso sempre use essa comparação lógica (empate → terceira; desequilíbrio → lado mais leve contém a moeda).

Resposta

Pese 3 moedas contra 3 moedas. Se empatarem, pese duas moedas do grupo restante de 3; a mais leve é a mais leve do par ou, se empatarem, a terceira. Se na primeira pesagem um dos lados for mais leve, pegue essas 3 moedas e pese duas delas; a mais leve é indicada do mesmo modo (lado mais leve ou, se empatarem, a terceira).

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