- Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo que 8 delas tem o mesmo peso e uma moeda é mais leve que as demais. Usando duas vezes uma balança de dois pratos, encontrar a moeda mais leve.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Há
moedas idênticas visualmente. - Exatamente
delas têm o mesmo peso e uma é mais leve. - Pode-se usar uma balança de dois pratos apenas
vezes. - Pedido: encontrar qual é a moeda mais leve usando essas
pesagens.
Passo 2
Primeiro passo prático: marcar mentalmente ou rotular as moedas para não se confundir na prova. Por exemplo, nomear as moedas como
.
Agora divida as moedas em
grupos de
moedas cada:
Agora divida as
- Grupo
- Grupo
- Grupo
Explicação didática: a ideia de dividir em três grupos iguais vem do fato que cada pesagem na balança tem três resultados possíveis: prato esquerdo mais leve, pratos iguais, prato direito mais leve. Com
pesagens isso permite distinguir até
possibilidades (vou explicar isso melhor depois).
Passo 3
Faça a primeira pesagem: coloque o grupo
no prato esquerdo e o grupo
no prato direito, isto é, pese
contra
.
Interpretação dos três resultados possíveis:
- Se os pratos empatarem (ou seja,
e têm o mesmo peso), então a moeda mais leve não está em nem em . Logo a moeda mais leve está no grupo . - Se o prato contendo
ficar mais leve, então a moeda mais leve está em . - Se o prato contendo
ficar mais leve, então a moeda mais leve está em .
Observação didática: essa conclusão é direta porque todos os membros de um grupo pesam o mesmo exceto a possível moeda mais leve; portanto, se dois grupos de
empatarem, a moeda diferente está no terceiro grupo. Se um grupo for mais leve, a moeda diferente está nesse grupo mais leve.
Passo 4
Agora use a segunda (e última) pesagem para identificar a moeda específica dentro do grupo suspeito de
moedas. O procedimento padrão: pegue duas moedas desse grupo e compare uma contra a outra.
Vou explicar com os três casos possíveis da primeira pesagem:
Caso 1 — primeira pesagem deu empate (logo suspeito
):
- Segunda pesagem: pese
contra . - Se
e empatarem, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é .
- Se
Caso 2 — primeira pesagem mostrou que
é mais leve (suspeito
):
- Segunda pesagem: pese
contra . - Se
e empatarem, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é .
- Se
Caso 3 — primeira pesagem mostrou que
é mais leve (suspeito
):
- Segunda pesagem: pese
contra . - Se
e empatarem, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é . - Se
for mais leve, então a mais leve é .
- Se
Explicação didática: comparar duas das três do grupo é suficiente porque, se elas empatarem, a terceira é necessariamente a mais leve; se não empatarem, o prato que subir (ou seja, for mais leve) indica diretamente qual das duas é a mais leve.
Passo 5
Breve justificativa teórica de por que isso é possível com
pesagens: cada pesagem tem
resultados distintos (esquerdo mais leve, igual, direito mais leve). Com
pesagens distintas pode-se distinguir até
cenários diferentes, ou seja,
Como há exatamente
possibilidades (a moeda leve pode ser qualquer uma das
), o método acima é ótimo e encontra sempre a moeda mais leve em somente
pesagens.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (memorização e execução):
- Memorize: “pese
contra ”; se empatar, pese contra do grupo restante; se não empatar, pese contra do grupo mais leve. Isso é curto e fácil de aplicar sob pressão. - Rotule mentalmente as moedas antes de começar para não se perder ao ler resultados.
- Lembre que uma balança de dois pratos só informa comparação de pesos, por isso sempre use essa comparação lógica (empate → terceira; desequilíbrio → lado mais leve contém a moeda).
Resposta
Pese
moedas contra
moedas. Se empatarem, pese duas moedas do grupo restante de
; a mais leve é a mais leve do par ou, se empatarem, a terceira. Se na primeira pesagem um dos lados for mais leve, pegue essas
moedas e pese duas delas; a mais leve é indicada do mesmo modo (lado mais leve ou, se empatarem, a terceira).