Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as primitivas da função” e fornece a função
Informações relevantes dadas:
- A função é soma de quatro termos:
, , e . - Queremos antiderivadas (primitivas) gerais, ou seja, uma família de funções
tal que . - Ao final deve aparecer a constante de integração (uma única constante
).
Passo 2
Conceito e propriedade que vamos usar (sem pular etapas):
- Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
é uma função tal que
- A integral indefinida obedece à linearidade: para constantes
e funções ,
Isso permite integrar termo a termo. Mostraremos a primitiva de cada termo separadamente.
Passo 3
Primitiva do primeiro termo
.
Fato importante: para
,
Portanto
onde
é uma constante (que será incorporada na constante final).
Passo 4
Primitiva do segundo termo
.
Fato importante:
. Assim,
Passo 5
Primitiva do terceiro termo
.
Fato importante:
. Logo
Passo 6
Primitiva do quarto termo
(constante).
Regra:
para constante
. Então
Passo 7
Juntando todas as primitivas usando linearidade e unificando as constantes
numa única constante
, obtemos a primitiva geral
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
,
que é exatamente
. Está válido (para
, onde a expressão
e
fazem sentido).