Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{10}{x}-3 \sin x+2 e^{x}-3

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as primitivas da função” e fornece a função
f(x)=\frac{10}{x}-3\sin x+2e^{x}-3.
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de quatro termos: \dfrac{10}{x}, -3\sin x, 2e^{x} e -3.
  • Queremos antiderivadas (primitivas) gerais, ou seja, uma família de funções F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Ao final deve aparecer a constante de integração (uma única constante C).

Passo 2

Conceito e propriedade que vamos usar (sem pular etapas):
  • Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f é uma função F tal que
F'(x)=f(x).
  • A integral indefinida obedece à linearidade: para constantes a,b e funções g,h,
\int (a\,g(x) + b\,h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Isso permite integrar termo a termo. Mostraremos a primitiva de cada termo separadamente.

Passo 3

Primitiva do primeiro termo \dfrac{10}{x}.
Fato importante: para x\neq0,
\frac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\frac{1}{x}.
Portanto
\int \frac{10}{x}\,dx = 10\int \frac{1}{x}\,dx = 10\ln|x| + C_1,
onde C_1 é uma constante (que será incorporada na constante final).

Passo 4

Primitiva do segundo termo -3\sin x.
Fato importante: \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Assim,
\int -3\sin x\,dx = -3\int \sin x\,dx = -3(-\cos x) + C_2 = 3\cos x + C_2.

Passo 5

Primitiva do terceiro termo 2e^{x}.
Fato importante: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Logo
\int 2e^{x}\,dx = 2\int e^{x}\,dx = 2e^{x} + C_3.

Passo 6

Primitiva do quarto termo -3 (constante).
Regra: \dfrac{d}{dx}(ax)=a para constante a. Então
\int -3\,dx = -3x + C_4.

Passo 7

Juntando todas as primitivas usando linearidade e unificando as constantes C_1,C_2,C_3,C_4 numa única constante C, obtemos a primitiva geral
F(x)=10\ln|x| + 3\cos x + 2e^{x} - 3x + C.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando F(x),
F'(x)=10\cdot\frac{1}{x} + 3\cdot(-\sin x) + 2e^{x} - 3 = \frac{10}{x} -3\sin x + 2e^{x} -3,
que é exatamente f(x). Está válido (para x\neq0, onde a expressão \dfrac{10}{x} e \ln|x| fazem sentido).

Resposta

F(x)=10\ln|x| + 3\cos x + 2e^{x} - 3x + C

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