- Prove que existem dois, e apenas dois múltiplos simultâneos de 2 e de 3 entre os números de 9 a 19, incluindo estes últimos.
Passo 1
O enunciado pede para provar que existem dois, e apenas dois, números entre
e
(incluindo
e
) que são múltiplos simultâneos de
e de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Intervalo: todos os inteiros
tais que . - Condição sobre
: deve ser múltiplo de e múltiplo de ao mesmo tempo.
Passo 2
Entendendo o que significa "múltiplo simultâneo de
e
".
- Um número é múltiplo de
se é divisível por . - Um número é múltiplo de
se é divisível por .
Se queremos que um número seja divisível pore por ao mesmo tempo, precisamos que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês lcm) de e . - Cálculo do MMC: como
e são primos entre si (ou seja, ), o MMC é simplesmente o produto:
Portanto, ser múltiplo de
e de
ao mesmo tempo é equivalente a ser múltiplo de
.
Passo 3
Descrever todos os múltiplos de
e achar os que caem no intervalo.
- Todo múltiplo de
tem a forma , com inteiro. Queremos tais que
Dividindo a desigualdade por
(número positivo), obtemos
- Calcule os limites em forma decimal:
e . Logo
Os inteiros
que satisfazem isso são exatamente
e
.
- Substituindo em
: para temos ; para temos .
Passo 4
Verificação de que não há outros múltiplos no intervalo.
- Para
obtém-se , que é menor que . - Para
obtém-se , que é maior que .
Portanto não existem outros inteirosque produzam múltiplos de entre e . Assim os únicos múltiplos de (ou seja, os únicos números múltiplos simultâneos de e ) no intervalo dado são e .