1. Prove que existem dois, e apenas dois múltiplos simultâneos de 2 e de 3 entre os números de 9 a 19, incluindo estes últimos.

Passo 1

O enunciado pede para provar que existem dois, e apenas dois, números entre 9 e 19 (incluindo 9 e 19) que são múltiplos simultâneos de 2 e de 3.
Informações dadas:
  • Intervalo: todos os inteiros n tais que 9 \le n \le 19.
  • Condição sobre n: n deve ser múltiplo de 2 e múltiplo de 3 ao mesmo tempo.

Passo 2

Entendendo o que significa "múltiplo simultâneo de 2 e 3".
  • Um número é múltiplo de 2 se é divisível por 2.
  • Um número é múltiplo de 3 se é divisível por 3.
    Se queremos que um número seja divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, precisamos que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês lcm) de 2 e 3.
  • Cálculo do MMC: como 2 e 3 são primos entre si (ou seja, \gcd(2,3)=1), o MMC é simplesmente o produto:
\operatorname{mmc}(2,3)=\frac{2\cdot 3}{\gcd(2,3)}=2\cdot 3=6.
Portanto, ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo é equivalente a ser múltiplo de 6.

Passo 3

Descrever todos os múltiplos de 6 e achar os que caem no intervalo.
  • Todo múltiplo de 6 tem a forma 6k, com k inteiro. Queremos k tais que
9 \le 6k \le 19.
Dividindo a desigualdade por 6 (número positivo), obtemos
\frac{9}{6} \le k \le \frac{19}{6}.
  • Calcule os limites em forma decimal: \dfrac{9}{6}=1{,}5 e \dfrac{19}{6}\approx 3{,}166\ldots. Logo
1{,}5 \le k \le 3{,}166\ldots
Os inteiros k que satisfazem isso são exatamente k=2 e k=3.
  • Substituindo em 6k: para k=2 temos 6\cdot 2=12; para k=3 temos 6\cdot 3=18.

Passo 4

Verificação de que não há outros múltiplos no intervalo.
  • Para k=1 obtém-se 6, que é menor que 9.
  • Para k=4 obtém-se 24, que é maior que 19.
    Portanto não existem outros inteiros k que produzam múltiplos de 6 entre 9 e 19. Assim os únicos múltiplos de 6 (ou seja, os únicos números múltiplos simultâneos de 2 e 3) no intervalo dado são 12 e 18.

Resposta

12 e 18

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