Encontre o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que está mais próximo do ponto P= (-1,1,2). E o ponto mais distante do ponto P.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que está (1) mais próximo e (2) mais distante do ponto P = (-1,1,2).
Informações dadas:
Esfera: x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. Logo o centro é O=(0,0,0) e o raio é R=4.
Ponto externo/ interno: P = (-1,1,2).
Nada mais foi pedido além desses dois pontos.
Passo 2
Vamos usar um argumento vetorial simples e bem direto (é o jeito mais curto e seguro na prova): qualquer ponto X da esfera pode ser escrito como X = 4\mathbf{u}, onde \mathbf{u} é um vetor unitário (isto é, \|\mathbf{u}\|=1). Seja \mathbf{v}=\overrightarrow{OP} o vetor até P. A ideia é escrever a distância de P a um ponto X da esfera em função de \mathbf{u} e observar quando essa distância é mínima ou máxima. Esse método evita contas pesadas e usa só noções básicas de produto escalar e norma.
Portanto d^{2}(\mathbf{u}) é minimizado quando \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é máximo, isto é quando \mathbf{u} está na mesma direção de \mathbf{v} (então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|); e d^{2}(\mathbf{u}) é maximizado quando \mathbf{u} está na direção oposta a \mathbf{v} (então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-\|\mathbf{v}\|). Assim os pontos extremos da distância são obtidos tomando \mathbf{u}=\pm \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Passo 5
Calculo explicitamente o ponto mais próximo: usando \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
(verificação numérica rápida, opcional) A norma \|\mathbf{v}\|=\sqrt{6}\approx 2,449 e o raio é 4. Como P está dentro da esfera (\sqrt{6}<4), a menor distância do ponto P à esfera é 4-\sqrt{6} (ocorre em \mathbf{x}_{\min}) e a maior é 4+\sqrt{6} (ocorre em \mathbf{x}_{\max}). Isso confirma que os pontos encontrados fazem sentido geométrico.