Encontre o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que está mais próximo do ponto P= (-1,1,2). E o ponto mais distante do ponto P.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que está (1) mais próximo e (2) mais distante do ponto P = (-1,1,2).
Informações dadas:
  • Esfera: x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. Logo o centro é O=(0,0,0) e o raio é R=4.
  • Ponto externo/ interno: P = (-1,1,2).
    Nada mais foi pedido além desses dois pontos.

Passo 2

Vamos usar um argumento vetorial simples e bem direto (é o jeito mais curto e seguro na prova): qualquer ponto X da esfera pode ser escrito como X = 4\mathbf{u}, onde \mathbf{u} é um vetor unitário (isto é, \|\mathbf{u}\|=1). Seja \mathbf{v}=\overrightarrow{OP} o vetor até P. A ideia é escrever a distância de P a um ponto X da esfera em função de \mathbf{u} e observar quando essa distância é mínima ou máxima. Esse método evita contas pesadas e usa só noções básicas de produto escalar e norma.

Passo 3

Defino o vetor
\mathbf{v}=\overrightarrow{OP}=(-1,1,2).
Calculo a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 4

Um ponto qualquer da esfera tem a forma \mathbf{x}=4\mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1. A distância ao quadrado entre \mathbf{x} e \mathbf{v} é
d^{2}(\mathbf{u})=\|4\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}.
Expandindo o quadrado:
d^{2}(\mathbf{u})=(4\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(4\mathbf{u}-\mathbf{v})=16-8(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\|\mathbf{v}\|^{2}.
Aqui \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar. Como \|\mathbf{u}\|=1, pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
-\,\|\mathbf{v}\|\le \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\le \|\mathbf{v}\|.
Portanto d^{2}(\mathbf{u}) é minimizado quando \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é máximo, isto é quando \mathbf{u} está na mesma direção de \mathbf{v} (então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|); e d^{2}(\mathbf{u}) é maximizado quando \mathbf{u} está na direção oposta a \mathbf{v} (então \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-\|\mathbf{v}\|). Assim os pontos extremos da distância são obtidos tomando \mathbf{u}=\pm \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 5

Calculo explicitamente o ponto mais próximo: usando \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|},
\mathbf{x}_{\min}=4\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=4\frac{(-1,1,2)}{\sqrt{6}}=\left(\frac{-4}{\sqrt{6}},\frac{4}{\sqrt{6}},\frac{8}{\sqrt{6}}\right).
Posso simplificar \dfrac{4}{\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{6}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}. Então
\mathbf{x}_{\min}=\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{4\sqrt{6}}{3}\right).

Passo 6

O ponto mais distante é o oposto (mudando o sinal de \mathbf{u}):
\mathbf{x}_{\max}=-4\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},\;-\frac{2\sqrt{6}}{3},\;-\frac{4\sqrt{6}}{3}\right).

Passo 7

(verificação numérica rápida, opcional) A norma \|\mathbf{v}\|=\sqrt{6}\approx 2,449 e o raio é 4. Como P está dentro da esfera ( \sqrt{6}<4), a menor distância do ponto P à esfera é 4-\sqrt{6} (ocorre em \mathbf{x}_{\min}) e a maior é 4+\sqrt{6} (ocorre em \mathbf{x}_{\max}). Isso confirma que os pontos encontrados fazem sentido geométrico.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{2\sqrt{6}}{3},\;\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)
\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{6}}{3},\;-\frac{2\sqrt{6}}{3},\;-\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)

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