Pesquisas relacionadas ao magnésio têm uma estrutura cristalina HC, uma razão de a para c de 1,624 e uma densidade teórica de 1,74 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Nessas condições, calcule o raio atômico para mg e o valor da distância longa (c). dado: massa \mathrm{mg}=2,4 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e NA= 6,02.10^{23} átomos / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Estrutura cristalina: hexagonal compacta (HC ou hcp).
  • Razão a/c = 1,624 (ou seja, c/a = 1,624).
  • Densidade teórica: \rho = 1,74\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Constante de Avogadro: N_A = 6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Massa atômica indicada: \mathrm{Mg} = 2,4\\ \mathrm{g/mol}.
Observação importante (sem pedir nada): a massa atômica de magnésio conhecida é aproximadamente \,24,3\\ \mathrm{g/mol}. A indicação \,2,4\\ \mathrm{g/mol} parece um erro de digitação. Para obter um resultado físico (compatível com valores tabelados), vou usar \,M_{\mathrm{Mg}} = 24,3\\ \mathrm{g/mol}. Se realmente quiser que eu use \,2,4\\ \mathrm{g/mol}, eu faço a conta com esse valor, mas o resultado ficará fisicamente estranho.
O que a questão pede:
  • Calcular o raio atômico de Mg (supondo esferas rígidas que encostam na estrutura hcp).
  • Calcular a distância longa c (o parâmetro de rede c).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Quantos átomos há na célula unitária hcp (convenção usual)?
  • A célula unitária hexagonal convencional para hcp contém 6 átomos por célula. Vou usar esse fato diretamente (é um resultado padrão da geometria hcp).
  1. Relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r:
  • Nas camadas base do empacotamento hexagonal, os centros dos átomos vizinhos na mesma camada estão separados por a. As esferas “tocam” ao longo dessa direção, portanto
a = 2r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{a}{2}.
  1. Volume da célula unitária hcp (convenção hexagonal com 6 átomos):
  • A base é um hexágono regular de lado a; a área do hexágono é \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}. Multiplicando pela altura c obtém-se o volume da célula:
V_{\text{cel}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
  1. Relação densidade — massa da célula — volume:
  • A massa da célula unitária é a massa de 6 átomos:
m_{\text{cel}}=\frac{6M}{N_A},
onde M é a massa atômica em \mathrm{g/mol}.
  • Densidade é \rho=\dfrac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}}. Dessa equação vamos isolar a (e depois r e c).

Passo 3

Escrever a equação da densidade e substituir c em função de a.
A equação da densidade é
\rho=\frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}}=\frac{\dfrac{6M}{N_A}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c}.
Como foi dado c/a=1,624, temos c=1,624\,a. Substituindo c em V_{\text{cel}}:
V_{\text{cel}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}(1,624\,a)=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624\right)a^{3}.
Agora isolamos a^{3} a partir de \rho:
a^{3}=\frac{\dfrac{6M}{N_A}}{\rho\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624\right)} =\frac{6M}{N_A\,\rho\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624\right)}.

Passo 4

Substituir os números (usando M=24,3\\ \mathrm{g/mol}, conforme observação) e calcular passo a passo.
  1. Massa da célula unitária:
m_{\text{cel}}=\frac{6M}{N_A}=\frac{6\times24,3}{6,02\times10^{23}} =\frac{145,8}{6,02\times10^{23}}\\ \mathrm{g} \approx 2,42\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.
  1. Volume da célula unitária (usando \rho=1,74\\ \mathrm{g/cm^{3}}):
V_{\text{cel}}=\frac{m_{\text{cel}}}{\rho} \approx\frac{2,42\times10^{-22}}{1,74} \approx 1,39\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Fator geométrico \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,598076\quad\Rightarrow\quad \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624 \approx 2,598076\times1,624 \approx 4,2204.
  1. Agora a^{3}=\dfrac{V_{\text{cel}}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot1,624}:
a^{3}\approx\frac{1,39\times10^{-22}}{4,2204}\approx 3,30\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Tomando a raiz cúbica:
a\approx\left(3,30\times10^{-23}\right)^{1/3}\approx 3,21\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=3,21\\ \text{\AA}.
(Obs.: 1\\ \text{\AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}.)

Passo 5

Calcular o raio atômico r e o parâmetro c a partir de a.
  1. Raio atômico:
r=\frac{a}{2}=\frac{3,21\\ \text{\AA}}{2}\approx 1,605\\ \text{\AA}\approx 1,60\\ \text{\AA}.
  1. Parâmetro c:
c=(1,624)\,a\approx 1,624\times3,21\\ \text{\AA}\approx 5,21\\ \text{\AA}.

Resposta

\;r=1,60\\ \text{\AA}
\;c=5,21\\ \text{\AA}

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