Pesquisas relacionadas ao magnésio têm uma estrutura cristalina HC, uma razão de a para c de 1,624 e uma densidade teórica de
. Nessas condições, calcule o raio atômico para mg e o valor da distância longa (c). dado: massa
e NA=
átomos
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Estrutura cristalina: hexagonal compacta (HC ou hcp).
- Razão
(ou seja, ). - Densidade teórica:
. - Constante de Avogadro:
. - Massa atômica indicada:
.
Observação importante (sem pedir nada): a massa atômica de magnésio conhecida é aproximadamente
. A indicação
parece um erro de digitação. Para obter um resultado físico (compatível com valores tabelados), vou usar
. Se realmente quiser que eu use
, eu faço a conta com esse valor, mas o resultado ficará fisicamente estranho.
O que a questão pede:
- Calcular o raio atômico de Mg (supondo esferas rígidas que encostam na estrutura hcp).
- Calcular a distância longa
(o parâmetro de rede ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Quantos átomos há na célula unitária hcp (convenção usual)?
- A célula unitária hexagonal convencional para hcp contém
átomos por célula. Vou usar esse fato diretamente (é um resultado padrão da geometria hcp).
- Relação entre o parâmetro de rede
e o raio atômico :
- Nas camadas base do empacotamento hexagonal, os centros dos átomos vizinhos na mesma camada estão separados por
. As esferas “tocam” ao longo dessa direção, portanto
- Volume da célula unitária hcp (convenção hexagonal com 6 átomos):
- A base é um hexágono regular de lado
; a área do hexágono é . Multiplicando pela altura obtém-se o volume da célula:
- Relação densidade — massa da célula — volume:
- A massa da célula unitária é a massa de
átomos:
onde
é a massa atômica em
.
- Densidade é
. Dessa equação vamos isolar (e depois e ).
Passo 3
Escrever a equação da densidade e substituir
em função de
.
A equação da densidade é
Como foi dado
, temos
. Substituindo
em
:
Agora isolamos
a partir de
:
Passo 4
Substituir os números (usando
, conforme observação) e calcular passo a passo.
- Massa da célula unitária:
- Volume da célula unitária (usando
):
- Fator geométrico
:
- Agora
:
- Tomando a raiz cúbica:
(Obs.:
.)
Passo 5
Calcular o raio atômico
e o parâmetro
a partir de
.
- Raio atômico:
- Parâmetro
: