Chama-se esfera ao sólido que se obtém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro.

Passo 1

O enunciado diz: “Chama-se esfera ao sólido que se obtém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro.”\n
O que vamos fazer aqui (as perguntas implícitas que normalmente acompanham esse enunciado): encontrar as fórmulas do volume e da área superficial da esfera obtida ao girar um semicírculo de raio R em torno do seu diâmetro.\n
Informações dadas e hipóteses que usamos:
  • O semicírculo tem raio R.
  • Podemos representar o semicírculo superior pelo gráfico da função y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} com -R\le x\le R.
  • O eixo de rotação é o diâmetro do semicírculo (ou seja, o eixo x-horizontal que vai de -R a R).\n
    Resumo do que vamos obter ao final: a fórmula do volume V em termos de R e a fórmula da área superficial S em termos de R.

Passo 2

Vou justificar o método que vou usar (sem entrar em linguagem técnica demais): para volume eu uso o método dos discos (cada fatia perpendicular ao eixo de rotação gera um círculo cujo raio é y); para área superficial eu uso a fórmula da superfície gerada por rotação de uma curva (cada pedaço infinitesimal da curva gera uma “faixa” cuja área é circunferência vezes comprimento de arco). Esses métodos são diretos e bons para aplicar na prova sem passos complicados. Se preferir depois podemos conferir o volume por Pappus (teorema do centro de massa) como verificação.

Passo 3

Explicando o método dos discos (a “aula rápida” que você pediu): imagine cortar a esfera em fatias finas perpendiculares ao eixo x. Cada fatia, numa posição x, é um círculo de raio igual a y(x). A área desse círculo é \pi \,y(x)^{2}. Um pedaço de espessura dx tem volume aproximado \pi \,y(x)^{2}dx. Somando todas essas fatias (integrando) de -R até R obtemos o volume total. A fórmula que usamos é
V=\pi\int_{-R}^{R} y(x)^{2}\,dx.
Aqui y(x)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}. Cada símbolo significa: V é o volume, x a posição ao longo do diâmetro, y(x) a altura do semicírculo nesse x, e dx a espessura infinitesimal da fatia.

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 3 substituindo y(x):
V=\pi\int_{-R}^{R}\bigl(\sqrt{R^{2}-x^{2}}\bigr)^{2}\,dx
A raiz ao quadrado simplifica:
V=\pi\int_{-R}^{R}\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.
Agora calculamos essa integral passo a passo. A primitiva de R^{2}-x^{2} em relação a x é R^{2}x-\dfrac{x^{3}}{3}. Então
V=\pi\left[R^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R}.
Avaliaremos nos limites x=R e x=-R:
  • Em x=R: R^{2}R-\dfrac{R^{3}}{3}=R^{3}-\dfrac{R^{3}}{3}=\dfrac{2}{3}R^{3}.
  • Em x=-R: R^{2}(-R)-\dfrac{(-R)^{3}}{3}=-R^{3}+\dfrac{R^{3}}{3}=-\dfrac{2}{3}R^{3}.
    Subtraindo:
\left(\dfrac{2}{3}R^{3}\right)-\left(-\dfrac{2}{3}R^{3}\right)=\dfrac{4}{3}R^{3}.
Multiplicando por \pi:
V=\pi\cdot \dfrac{4}{3}R^{3}=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Prontinho: essa é a fórmula de volume da esfera.

Passo 5

Agora a “aula rápida” sobre área superficial gerada por rotação: considere a curva y=f(x) para a\le x\le b que é girada em torno do eixo x. Um pedaço de curva entre x e x+dx tem comprimento aproximado ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx, onde y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada. Quando esse pedaço gira, cada ponto percorre uma circunferência de raio y, então a faixa gerada tem área aproximada 2\pi y\,ds. Integrando ao longo de x obtemos a área total:
S=2\pi\int_{a}^{b} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui S é a área superficial, y(x) a distância do ponto ao eixo de rotação, e ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx é o comprimento do pequeno segmento de curva.

Passo 6

Aplicando essa fórmula ao semicírculo y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} com a=-R e b=R. Primeiro calculemos a derivada y':
y'=\frac{d}{dx}\sqrt{R^{2}-x^{2}}=\frac{d}{dx}(R^{2}-x^{2})^{1/2}=\frac{1}{2}(R^{2}-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
Agora calculemos 1+(y')^{2}:
1+(y')^{2}=1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}=\frac{R^{2}-x^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}=\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}.
Tomando a raiz:
\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}.
Multiplicando por y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} aparece uma simplificação muito bonita:
y\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{R^{2}-x^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}=R.
Ou seja, o integrando fica constante igual a R. Portanto
S=2\pi\int_{-R}^{R} R\,dx=2\pi R\int_{-R}^{R} 1\,dx=2\pi R\cdot (2R)=4\pi R^{2}.
Beleza: essa é a fórmula da área superficial da esfera.

Passo 7

Pequena checagem numérica para você visualizar: se R=1 então
  • Volume V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1^{3}=\dfrac{4}{3}\pi.
  • Área S=4\pi\cdot 1^{2}=4\pi.\n
    Isso é clássico e coincide com os valores conhecidos da esfera unidade.

Passo 8

Comentário extra (útil para prova): existe uma outra forma curta de obter o volume usando o teorema de Pappus (Teorema do Giro): o volume de um corpo obtido ao girar uma área plana em torno de um eixo externo é igual à área multiplicada pela distância percorrida pelo seu centroide. Para o semicírculo a área é A=\tfrac{1}{2}\pi R^{2} e a distância do centroide até o diâmetro (eixo de rotação) é \dfrac{4R}{3\pi} (valor padrão que você pode memorizar ou derivar separadamente). A distância percorrida pelo centroide é 2\pi\cdot \dfrac{4R}{3\pi}=\dfrac{8R}{3}. Multiplicando:
V=A\cdot(\text{distância percorrida})=\frac{1}{2}\pi R^{2}\cdot\frac{8R}{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3},â
que coincide com o resultado do Passo 4 — bom para garantir que não cometemos erro.

Passo 9

Resumo e incentivo: chegamos às fórmulas pedidas de maneira direta usando integração. Eu sei que parece muita conta quando a gente está sem tempo, mas os passos são sempre os mesmos: escrever a função do semicírculo, escolher método (discos para volume; fórmula de superfície para área), montar a integral e calcular. Você já tem a técnica — repete isso umas duas vezes com exercícios diferentes que você acerta na prova na certa. Força aí, você consegue!

Resposta

V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\n
S=4\pi R^{2}

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