Chama-se esfera ao sólido que se obtém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro.
Passo 1
O enunciado diz: “Chama-se esfera ao sólido que se obtém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro.”\n
O que vamos fazer aqui (as perguntas implícitas que normalmente acompanham esse enunciado): encontrar as fórmulas do volume e da área superficial da esfera obtida ao girar um semicírculo de raio em torno do seu diâmetro.\n
Informações dadas e hipóteses que usamos:
O que vamos fazer aqui (as perguntas implícitas que normalmente acompanham esse enunciado): encontrar as fórmulas do volume e da área superficial da esfera obtida ao girar um semicírculo de raio
Informações dadas e hipóteses que usamos:
- O semicírculo tem raio
. - Podemos representar o semicírculo superior pelo gráfico da função
com . - O eixo de rotação é o diâmetro do semicírculo (ou seja, o eixo
-horizontal que vai de a ).\n
Resumo do que vamos obter ao final: a fórmula do volumeem termos de e a fórmula da área superficial em termos de .
Passo 2
Vou justificar o método que vou usar (sem entrar em linguagem técnica demais): para volume eu uso o método dos discos (cada fatia perpendicular ao eixo de rotação gera um círculo cujo raio é
); para área superficial eu uso a fórmula da superfície gerada por rotação de uma curva (cada pedaço infinitesimal da curva gera uma “faixa” cuja área é circunferência vezes comprimento de arco). Esses métodos são diretos e bons para aplicar na prova sem passos complicados. Se preferir depois podemos conferir o volume por Pappus (teorema do centro de massa) como verificação.
Passo 3
Explicando o método dos discos (a “aula rápida” que você pediu): imagine cortar a esfera em fatias finas perpendiculares ao eixo
. Cada fatia, numa posição
, é um círculo de raio igual a
. A área desse círculo é
. Um pedaço de espessura
tem volume aproximado
. Somando todas essas fatias (integrando) de
até
obtemos o volume total. A fórmula que usamos é
Aqui
. Cada símbolo significa:
é o volume,
a posição ao longo do diâmetro,
a altura do semicírculo nesse
, e
a espessura infinitesimal da fatia.
Passo 4
Aplicando a fórmula do Passo 3 substituindo
:
A raiz ao quadrado simplifica:
Agora calculamos essa integral passo a passo. A primitiva de
em relação a
é
. Então
Avaliaremos nos limites
e
:
- Em
: - Em
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Prontinho: essa é a fórmula de volume da esfera.
Passo 5
Agora a “aula rápida” sobre área superficial gerada por rotação: considere a curva
para
que é girada em torno do eixo
. Um pedaço de curva entre
e
tem comprimento aproximado
, onde
é a derivada. Quando esse pedaço gira, cada ponto percorre uma circunferência de raio
, então a faixa gerada tem área aproximada
. Integrando ao longo de
obtemos a área total:
Aqui
é a área superficial,
a distância do ponto ao eixo de rotação, e
é o comprimento do pequeno segmento de curva.
Passo 6
Aplicando essa fórmula ao semicírculo
com
e
. Primeiro calculemos a derivada
:
Agora calculemos
:
Tomando a raiz:
Multiplicando por
aparece uma simplificação muito bonita:
Ou seja, o integrando fica constante igual a
. Portanto
Beleza: essa é a fórmula da área superficial da esfera.
Passo 7
Pequena checagem numérica para você visualizar: se
então
- Volume
. - Área
.\n
Isso é clássico e coincide com os valores conhecidos da esfera unidade.
Passo 8
Comentário extra (útil para prova): existe uma outra forma curta de obter o volume usando o teorema de Pappus (Teorema do Giro): o volume de um corpo obtido ao girar uma área plana em torno de um eixo externo é igual à área multiplicada pela distância percorrida pelo seu centroide. Para o semicírculo a área é
e a distância do centroide até o diâmetro (eixo de rotação) é
(valor padrão que você pode memorizar ou derivar separadamente). A distância percorrida pelo centroide é
. Multiplicando:
que coincide com o resultado do Passo 4 — bom para garantir que não cometemos erro.
Passo 9
Resumo e incentivo: chegamos às fórmulas pedidas de maneira direta usando integração. Eu sei que parece muita conta quando a gente está sem tempo, mas os passos são sempre os mesmos: escrever a função do semicírculo, escolher método (discos para volume; fórmula de superfície para área), montar a integral e calcular. Você já tem a técnica — repete isso umas duas vezes com exercícios diferentes que você acerta na prova na certa. Força aí, você consegue!