1. Quanto mede a aresta de um tetraedro regular de 9 \sqrt{2} \mathrm{~m}^{3} de volume?

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular com volume 9\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3 e pede a medida da aresta desse tetraedro.
Informações relevantes que temos:
  • Volume: V = 9\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3.
  • Tetraedro regular: todas as arestas têm o mesmo comprimento, que vou chamar de a.
    O objetivo é encontrar a em metros.

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir a área da face (base) do tetraedro, que é um triângulo equilátero de lado a. A área A de um triângulo é \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Para o triângulo equilátero de lado a a altura é
\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Portanto a área da face (base) é
A = \frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Explicação curta: a altura do triângulo vem do triângulo retângulo formado ao traçar a altitude em um triângulo equilátero.

Passo 3

Agora precisamos da altura h do tetraedro (distância do vértice oposto à face até o plano da face). No triângulo equilátero a posição vertical do pé da altura do tetraedro é o centróide (o ponto equidistante dos vértices da face). A distância do vértice da face até o centróide é
\frac{2}{3}\times\text{altura do triângulo}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a.â
Chamo essa distância de r, ou seja r=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a. Agora, considerando o triângulo retângulo formado pela aresta a (hipotenusa), pela altura do tetraedro h e por r (cateto), vale
h^2 + r^2 = a^2.
Substituindo r obtemos
h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 = a^2.
Calculando:
h^2 + \frac{3}{9}a^2 = a^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 + \frac{1}{3}a^2 = a^2.
Então
h^2 = a^2\left(1-\frac{1}{3}\right)=a^2\cdot\frac{2}{3},
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h = a\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula do volume de um prisma/pirâmide: volume é um terço da área da base vezes a altura. Para o tetraedro:
V = \frac{1}{3}\,A\,h.
Substituindo A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 e h=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}, temos
V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Colocando os fatores numéricos juntos:
V = \frac{1}{12}\,a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}.
Como \sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{2}, obtemos a fórmula conhecida
V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}.
Observação amistosa: essa é a fórmula padrão para o volume de um tetraedro regular; derivamos ela passo a passo para você não decorar sem entender.

Passo 5

Substituímos o volume dado V=9\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3 na fórmula:
\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=9\sqrt{2}.
Podemos dividir ambos os lados por \sqrt{2} (não é zero), ficando
\frac{a^3}{12}=9.
Multiplicando por 12 obtemos
a^3 = 108.

Passo 6

Agora tiramos a raíz cúbica de 108. Observando que 108=27\cdot4 e que \sqrt[3]{27}=3, temos
a=\sqrt[3]{108}=\sqrt[3]{27\cdot4}=3\sqrt[3]{4}.
Se quiser uma ideia numérica rápida, \sqrt[3]{4}\approx1{,}5874, então a\approx 4{,}762\\ \mathrm{m}. Para a prova, a forma exata 3\sqrt[3]{4}\\ \mathrm{m} é a melhor resposta.

Resposta

3\sqrt[3]{4}\\ \mathrm{m}

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