- Quanto mede a aresta de um tetraedro regular de
de volume?
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro regular com volume
e pede a medida da aresta desse tetraedro.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Volume:
. - Tetraedro regular: todas as arestas têm o mesmo comprimento, que vou chamar de
.
O objetivo é encontrarem metros.
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir a área da face (base) do tetraedro, que é um triângulo equilátero de lado
. A área
de um triângulo é
. Para o triângulo equilátero de lado
a altura é
Portanto a área da face (base) é
Explicação curta: a altura do triângulo vem do triângulo retângulo formado ao traçar a altitude em um triângulo equilátero.
Passo 3
Agora precisamos da altura
do tetraedro (distância do vértice oposto à face até o plano da face). No triângulo equilátero a posição vertical do pé da altura do tetraedro é o centróide (o ponto equidistante dos vértices da face). A distância do vértice da face até o centróide é
Chamo essa distância de
, ou seja
. Agora, considerando o triângulo retângulo formado pela aresta
(hipotenusa), pela altura do tetraedro
e por
(cateto), vale
Substituindo
obtemos
Calculando:
Então
logo
Passo 4
Agora usamos a fórmula do volume de um prisma/pirâmide: volume é um terço da área da base vezes a altura. Para o tetraedro:
Substituindo
e
, temos
Colocando os fatores numéricos juntos:
Como
, obtemos a fórmula conhecida
Observação amistosa: essa é a fórmula padrão para o volume de um tetraedro regular; derivamos ela passo a passo para você não decorar sem entender.
Passo 5
Substituímos o volume dado
na fórmula:
Podemos dividir ambos os lados por
(não é zero), ficando
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Agora tiramos a raíz cúbica de
. Observando que
e que
, temos
Se quiser uma ideia numérica rápida,
, então
. Para a prova, a forma exata
é a melhor resposta.