- Quanto mede a altura de um tetraedro regular de
de área total?
Passo 1
O enunciado dá que a área total do tetraedro regular é
e pede a medida da altura do tetraedro.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A superfície total de um tetraedro regular é a soma das áreas de suas quatro faces, que são triângulos equiláteros congruentes.
- Valor dado:
.
Pedido: calcular a altura do tetraedro (distância perpendicular de um vértice à face oposta).
Passo 2
Vamos relacionar a área total com o comprimento da aresta do tetraedro.
Cada face é um triângulo equilátero de lado . A área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula
Cada face é um triângulo equilátero de lado
Explicando essa fórmula: para um triângulo equilátero de lado
, a altura do triângulo vale
. A área é
.
Passo 3
Como o tetraedro tem quatro faces iguais, a área total é quatro vezes a área de uma face. Logo
Agora igualamos ao valor dado e resolvemos para
:
Passo 4
Cancele
dos dois lados (é diferente de zero) para obter
Portanto
(Escolhemos a raiz positiva porque
é um comprimento.)
Passo 5
Agora precisamos relacionar a aresta
com a altura
do tetraedro. Considere a face base como um triângulo equilátero e seja
o centro (baricentro/centro) desse triângulo. Para um triângulo equilátero de lado
, a distância do centro
até qualquer vértice (o raio da circunferência circunscrita) vale
Explicando: o centro do triângulo equilátero fica na interseção das medianas; usando semelhança ou fórmulas padrão obtemos
.
Passo 6
No tetraedro regular, a aresta que vai do vértice superior até um vértice da base tem comprimento
. Essa aresta forma um triângulo retângulo com catetos
(altura do tetraedro) e
(distância do centro da base ao vértice da base). Assim, pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo
obtemos
Isolando
:
Portanto a fórmula geral para a altura do tetraedro regular é
Passo 7
Substituímos
na fórmula:
Calcule passo a passo:
Racionalizando o denominador (opcional):