1. Quanto mede a altura de um tetraedro regular de 18 \sqrt{3} \mathrm{~m}^{2} de área total?

Passo 1

O enunciado dá que a área total do tetraedro regular é \;18\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2\; e pede a medida da altura do tetraedro.
Informações relevantes:
  • A superfície total de um tetraedro regular é a soma das áreas de suas quatro faces, que são triângulos equiláteros congruentes.
  • Valor dado: \;A_{\text{total}}=18\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.
    Pedido: calcular a altura do tetraedro (distância perpendicular de um vértice à face oposta).

Passo 2

Vamos relacionar a área total com o comprimento da aresta do tetraedro.
Cada face é um triângulo equilátero de lado \;a. A área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula
\text{área do triângulo equilátero}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.áâá
Explicando essa fórmula: para um triângulo equilátero de lado \;a, a altura do triângulo vale \frac{\sqrt{3}}{2}a. A área é \frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\frac{1}{2}\,a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.

Passo 3

Como o tetraedro tem quatro faces iguais, a área total é quatro vezes a área de uma face. Logo
A_{\text{total}}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}=\sqrt{3}\,a^{2}.
Agora igualamos ao valor dado e resolvemos para \;a:
\sqrt{3}\,a^{2}=18\sqrt{3}.

Passo 4

Cancele \sqrt{3} dos dois lados (é diferente de zero) para obter
a^{2}=18.
Portanto
a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
(Escolhemos a raiz positiva porque \;a é um comprimento.)

Passo 5

Agora precisamos relacionar a aresta \;a com a altura \;h do tetraedro. Considere a face base como um triângulo equilátero e seja O o centro (baricentro/centro) desse triângulo. Para um triângulo equilátero de lado \;a, a distância do centro O até qualquer vértice (o raio da circunferência circunscrita) vale
R=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Explicando: o centro do triângulo equilátero fica na interseção das medianas; usando semelhança ou fórmulas padrão obtemos R=\frac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 6

No tetraedro regular, a aresta que vai do vértice superior até um vértice da base tem comprimento \;a. Essa aresta forma um triângulo retângulo com catetos h (altura do tetraedro) e R (distância do centro da base ao vértice da base). Assim, pelo Teorema de Pitágoras:
a^{2}=h^{2}+R^{2}.
Substituindo R=\dfrac{a}{\sqrt{3}} obtemos
a^{2}=h^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}=h^{2}+\frac{a^{2}}{3}.
Isolando h^{2}:
h^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{2}{3}\,a^{2}.
Portanto a fórmula geral para a altura do tetraedro regular é
h=a\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 7

Substituímos a=3\sqrt{2} na fórmula:
h=(3\sqrt{2})\sqrt{\frac{2}{3}}.
Calcule passo a passo:
h=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{4}{3}}=3\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (opcional):
\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}\\ \mathrm{m}

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