Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{10 x^{3}-11 x^{2}+12 x-13}{-2 x^{5}+3 x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x \to -\infty:
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{10x^{3}-11x^{2}+12x-13}{-2x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x+3}.
Informações dadas:
  • Numerador: 10x^{3}-11x^{2}+12x-13.
  • Denominador: -2x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x+3.
  • O limite a calcular é quando x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os que crescem mais rápido). Aqui o grau do numerador é 3 e o do denominador é 5. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração tende a 0. Vou mostrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador por a maior potência de x presente no denominador, que é x^{5}. Isso “normaliza” os termos e deixa claro o limite dos termos menores.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{5}:
\frac{10x^{3}-11x^{2}+12x-13}{-2x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x+3} = \frac{\dfrac{10x^{3}}{x^{5}}-\dfrac{11x^{2}}{x^{5}}+\dfrac{12x}{x^{5}}-\dfrac{13}{x^{5}}} {\dfrac{-2x^{5}}{x^{5}}+\dfrac{3x^{4}}{x^{5}}-\dfrac{2x^{3}}{x^{5}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{5}}-\dfrac{4x}{x^{5}}+\dfrac{3}{x^{5}}}.
Simplificando as potências:
= \frac{\dfrac{10}{x^{2}}-\dfrac{11}{x^{3}}+\dfrac{12}{x^{4}}-\dfrac{13}{x^{5}}} {-2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{4}}+\dfrac{3}{x^{5}}}.

Passo 4

Agora tomo o limite termo a termo quando x\to -\infty. Conceito usado: para qualquer inteiro positivo k vale
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Isso porque x^{k} cresce em módulo sem limite quando |x|\to\infty, logo suas recíprocas vão para 0. Aplicando isso aos termos do numerador e denominador, todos os termos com \dfrac{1}{x^{k}} tendem a 0. Assim o numerador tende a 0 e o denominador tende ao valor constante -2. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{10x^{3}-11x^{2}+12x-13}{-2x^{5}+3x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-4x+3} =\frac{0}{-2}=0.

Passo 5

Resumo didático e exemplos rápidos para fixar:
  • Se o grau do denominador for maior que o do numerador (caso aqui: 5>3), o limite quando x\to\pm\infty é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais (ex.: \lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^{3}+\cdots}{2x^{3}+\cdots}= \dfrac{4}{2}=2).
  • Se o grau do numerador for maior, o limite é \pm\infty dependendo dos sinais dos termos de maior grau (ex.: \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\infty).
Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e com esta técnica de dividir pela maior potência fica bem mecânico.

Resposta

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