Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O limite a calcular é quando
tende a .
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para limites de funções racionais quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os que crescem mais rápido). Aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração tende a
. Vou mostrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador por a maior potência de
presente no denominador, que é
. Isso “normaliza” os termos e deixa claro o limite dos termos menores.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
:
Simplificando as potências:
Passo 4
Agora tomo o limite termo a termo quando
. Conceito usado: para qualquer inteiro positivo
vale
Isso porque
cresce em módulo sem limite quando
, logo suas recíprocas vão para
. Aplicando isso aos termos do numerador e denominador, todos os termos com
tendem a
. Assim o numerador tende a
e o denominador tende ao valor constante
. Portanto
Passo 5
Resumo didático e exemplos rápidos para fixar:
- Se o grau do denominador for maior que o do numerador (caso aqui:
), o limite quando é . - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais (ex.:
). - Se o grau do numerador for maior, o limite é
dependendo dos sinais dos termos de maior grau (ex.: ).
Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e com esta técnica de dividir pela maior potência fica bem mecânico.