Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da função racional abaixo:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Quer-se o valor de
dessa fração.
Passo 2
Vamos estudar uma técnica geral e intuitiva para limites de funções racionais quando
.
Ideia-chave: os termos de maior potência de
dominam o comportamento para
muito grande. Por isso, para comparar numerador e denominador é útil dividir ambos pelo maior expoente de
que aparece (a maior potência presente em numerador ou denominador).
Fórmula prática (explicação):
- Seja uma função racional
. - Se
(grau do numerador menor), então os termos do numerador tendem a zero mais rápido e o limite é . - Se
(mesmo grau), dividindo tudo por aparecem constantes mais termos com que vão a zero; o limite é (razão dos coeficientes líderes). - Se
(grau do numerador maior), a expressão cresce em módulo sem limite finito; tipicamente o limite é dependendo dos sinais dos coeficientes líderes e do sentido (aqui dá o sinal dos coeficientes líderes).
Propriedade usada muitas vezes (justificativa simples):
Assim, qualquer termo com
some no limite quando
.
Passo 3
Aplique a técnica ao nosso caso. O maior expoente presente é
. Divido numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora tomo o limite termo a termo usando que
e
quando
. Assim
Portanto o limite da fração é a razão desses limites:
Passo 5
Resumo prático para prova (dica rápida):
- Graus iguais
limite = razão dos coeficientes líderes (aqui e → ). - Grau numerador < grau denominador
limite . - Grau numerador > grau denominador
limite (verificar sinais).
Exemplos rápidos para fixar:
-
. -
. -
.
Vai dar certo na prova — memorize as regras e pratique com alguns exemplos rápidos!