Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+5 x-7}{4 x^{2}-11 x+9}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da função racional abaixo:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^{2}+5x-7}{4x^{2}-11x+9}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{2}+5x-7.
  • Denominador: 4x^{2}-11x+9.
  • Quer-se o valor de \lim_{x\to\infty} dessa fração.

Passo 2

Vamos estudar uma técnica geral e intuitiva para limites de funções racionais quando x\to\infty.
Ideia-chave: os termos de maior potência de x dominam o comportamento para x muito grande. Por isso, para comparar numerador e denominador é útil dividir ambos pelo maior expoente de x que aparece (a maior potência presente em numerador ou denominador).
Fórmula prática (explicação):
  • Seja uma função racional \dfrac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1}+\cdots}.
  • Se n<m (grau do numerador menor), então os termos do numerador tendem a zero mais rápido e o limite é 0.
  • Se n=m (mesmo grau), dividindo tudo por x^n aparecem constantes mais termos com 1/x,1/x^2,\dots que vão a zero; o limite é \dfrac{a_n}{b_m} (razão dos coeficientes líderes).
  • Se n>m (grau do numerador maior), a expressão cresce em módulo sem limite finito; tipicamente o limite é \pm\infty dependendo dos sinais dos coeficientes líderes e do sentido (aqui x\to\infty dá o sinal dos coeficientes líderes).
Propriedade usada muitas vezes (justificativa simples):
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0,\\ \text{etc.}
Assim, qualquer termo com 1/x^k some no limite quando x\to\infty.

Passo 3

Aplique a técnica ao nosso caso. O maior expoente presente é 2. Divido numerador e denominador por x^{2}:
\frac{2x^{2}+5x-7}{4x^{2}-11x+9} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5x}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{2}}}{\dfrac{4x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{11x}{x^{2}}+\dfrac{9}{x^{2}}} = \frac{2+\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}{4-\dfrac{11}{x}+\dfrac{9}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora tomo o limite termo a termo usando que \dfrac{1}{x}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0 quando x\to\infty. Assim
\lim_{x\to\infty}\left(2+\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}\right)=2+0-0=2,
\lim_{x\to\infty}\left(4-\dfrac{11}{x}+\dfrac{9}{x^{2}}\right)=4-0+0=4.
Portanto o limite da fração é a razão desses limites:
\lim_{x\to\infty}\frac{2+\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}{4-\dfrac{11}{x}+\dfrac{9}{x^{2}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Resumo prático para prova (dica rápida):
  • Graus iguais \Rightarrow limite = razão dos coeficientes líderes (aqui 2 e 4 \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}).
  • Grau numerador < grau denominador \Rightarrow limite 0.
  • Grau numerador > grau denominador \Rightarrow limite \pm\infty (verificar sinais).
Exemplos rápidos para fixar:
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+1}{x^{3}-x}=\dfrac{3}{1}=3.
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^{2}+1}=0.
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}=+\infty.
Vai dar certo na prova — memorize as regras e pratique com alguns exemplos rápidos!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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