Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Precisamos calcular
. - As letras
e são constantes (não foram especificadas; podem ser positivas, negativas ou zero). - Pergunta única: encontrar o valor (finito ou infinito, com sinal) desse limite, em função de
e .
Observação importante: como
e
não foram dados, teremos que discutir casos (por exemplo
ou
;
ou
). Não se preocupe — vamos fazer tudo passo a passo.
Passo 2
Ideia geral (intuição didática): termos dominantes em funções racionais.
- Para
, entre os termos polinomiais os que mais crescem são os de maior grau. Aqui o numerador tem grau e o denominador grau . - Logo, o comportamento quando
será dominado por esses termos de maior grau: no numerador e no denominador. - Método prático e seguro: dividir numerador e denominador por uma potência de
que simplifique a expressão. Vou dividir por (o maior expoente do denominador) porque isso deixa a expressão fácil de analisar.
Passo 3
Fazer a divisão por
e simplificar algebricamente.
Colocando tudo em forma conveniente:
Explicando os símbolos aqui:
-
, que tende a quando . - A expressão ficou reduzida a uma forma onde aparece um termo proporcional a
no numerador e uma constante no denominador (mais termos que vão a ).
Passo 4
Tomar o limite dos termos pequenos e simplificar o comportamento assintótico.
Como
temos
. Portanto
desde que
. Ou seja, para
a expressão cresce (em módulo) como
quando
.
Agora analisamos os casos concretos a partir dessa forma assintótica.
Passo 5
Caso
.
- Se
: a expressão comporta-se como quando . Como , isso diverge para infinito com o sinal de . Logo - se
então ; - se
então .
- se
- Se
: a expressão reduz (após dividir) a , cujo numerador tende a e o denominador tende a . Portanto o limite é .
Passo 6
Caso
(tratamento separado porque aí o denominador é constante).
- Se
então a função é Ou seja, denominador é constante . - Se
: o numerador tende a quando (pois ) e a quando . Dividindo por inverte o sinal: - se
então o limite é ; - se
então o limite é .
- se
- Se
e : a função é para todo , logo o limite é .
Passo 7
Resumo final dos casos (pronto para consulta rápida).
-
e : limite diverge; é se e se . -
e : limite . -
e : limite se , limite se . -
e : limite .
Força aí — essas classificações por casos são justamente o que costumam pedir em provas quando os coeficientes não são especificados. Agora só falta gravar a ideia: comparar graus, dividir por uma potência de
, eliminar termos que vão a zero e olhar o termo dominante.
Resposta
Se
e
:
se
, e
se
.
Se e
:
.
Se e
:
se
, e
se
.
Se e
:
.
Se
Se
Se