Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a x^{2020}+1}{b x^{2019}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2020}+1}{b x^{2019}-1}.
  • As letras a e b são constantes (não foram especificadas; podem ser positivas, negativas ou zero).
  • Pergunta única: encontrar o valor (finito ou infinito, com sinal) desse limite, em função de a e b.
Observação importante: como a e b não foram dados, teremos que discutir casos (por exemplo b=0 ou b\neq0; a=0 ou a\neq0). Não se preocupe — vamos fazer tudo passo a passo.

Passo 2

Ideia geral (intuição didática): termos dominantes em funções racionais.
  • Para x\to\infty, entre os termos polinomiais os que mais crescem são os de maior grau. Aqui o numerador tem grau 2020 e o denominador grau 2019.
  • Logo, o comportamento quando x\to\infty será dominado por esses termos de maior grau: a x^{2020} no numerador e b x^{2019} no denominador.
  • Método prático e seguro: dividir numerador e denominador por uma potência de x que simplifique a expressão. Vou dividir por x^{2019} (o maior expoente do denominador) porque isso deixa a expressão fácil de analisar.

Passo 3

Fazer a divisão por x^{2019} e simplificar algebricamente.
Colocando tudo em forma conveniente:
\frac{a x^{2020}+1}{b x^{2019}-1} = \frac{x^{2019}\big(a x + x^{-2019}\big)}{x^{2019}\big(b - x^{-2019}\big)} = \frac{a x + x^{-2019}}{b - x^{-2019}}.
Explicando os símbolos aqui:
  • x^{-2019}=\dfrac{1}{x^{2019}}, que tende a 0 quando x\to\infty.
  • A expressão ficou reduzida a uma forma onde aparece um termo proporcional a x no numerador e uma constante b no denominador (mais termos que vão a 0).

Passo 4

Tomar o limite dos termos pequenos e simplificar o comportamento assintótico.
Como x\to\infty temos x^{-2019}\to 0. Portanto
\frac{a x + x^{-2019}}{b - x^{-2019}} \sim \frac{a x + 0}{b - 0} = \frac{a}{b}\,x,
desde que b\neq 0. Ou seja, para b\neq 0 a expressão cresce (em módulo) como \dfrac{a}{b}x quando x\to\infty.
Agora analisamos os casos concretos a partir dessa forma assintótica.

Passo 5

Caso b\neq 0.
  • Se a\neq 0: a expressão comporta-se como \dfrac{a}{b}x quando x\to\infty. Como x\to\infty, isso diverge para infinito com o sinal de \dfrac{a}{b}. Logo
    • se \dfrac{a}{b}>0 então \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2020}+1}{b x^{2019}-1}=+\infty;
    • se \dfrac{a}{b}<0 então \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2020}+1}{b x^{2019}-1}=-\infty.
  • Se a=0: a expressão reduz (após dividir) a \dfrac{x^{-2019}}{b - x^{-2019}}, cujo numerador tende a 0 e o denominador tende a b\neq0. Portanto o limite é 0.

Passo 6

Caso b=0 (tratamento separado porque aí o denominador é constante).
  • Se b=0 então a função é \frac{a x^{2020}+1}{-1}.Ou seja, denominador é constante -1.
  • Se a\neq 0: o numerador tende a +\infty quando a>0 (pois x^{2020}\to+\infty) e a -\infty quando a<0. Dividindo por -1 inverte o sinal:
    • se a>0 então o limite é -\infty;
    • se a<0 então o limite é +\infty.
  • Se a=0 e b=0: a função é \dfrac{1}{-1}=-1 para todo x, logo o limite é -1.

Passo 7

Resumo final dos casos (pronto para consulta rápida).
  • b\neq 0 e a\neq 0: limite diverge; é +\infty se a/b>0 e -\infty se a/b<0.
  • b\neq 0 e a=0: limite 0.
  • b=0 e a\neq 0: limite -\infty se a>0, limite +\infty se a<0.
  • b=0 e a=0: limite -1.
Força aí — essas classificações por casos são justamente o que costumam pedir em provas quando os coeficientes não são especificados. Agora só falta gravar a ideia: comparar graus, dividir por uma potência de x, eliminar termos que vão a zero e olhar o termo dominante.

Resposta

Se b\neq 0 e a\neq 0: +\infty se \dfrac{a}{b}>0, e -\infty se \dfrac{a}{b}<0.
Se b\neq 0 e a=0: 0.
Se b=0 e a\neq 0: -\infty se a>0, e +\infty se a<0.
Se b=0 e a=0: -1.

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