Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
e
são constantes (não foram dadas mais informações sobre seus valores). Informações relevantes que temos:
- O numerador é
(polinômio de grau ). - O denominador é
(polinômio de grau ). - O que se pede é o comportamento da fração quando
cresce sem limite ( ).
Não se começou a resolver nada neste passo; apenas identificamos o que a questão dá e o que ela pede.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando se tem um limite de uma razão de polinômios com
, é útil dividir numerador e denominador por uma potência de
igual ao maior grau que aparece no denominador ou no numerador. Isso transforma cada termo em algo do tipo constante,
,
, etc., e sabemos que
quando
para qualquer
. Aqui o maior grau entre numerador e denominador é
, então dividimos ambos por
.
Passo 3
Aplicando a divisão por
(feito passo a passo):
Agora analisamos os termos quando
:
-
porque . -
porque potências positivas de tendem a zero.
Portanto o numerador tende ae o denominador tende a . Isso já permite concluir um caso importante: se , o limite é
Passo 4
Análise do caso em que
(não podemos dividir pelo que zeraria o termo dominante do denominador):
Se a expressão fica
Se
Agora estudar o limite de
quando
. Observações sobre
:
- Para
temos (pois a potência é ímpar, mas para fica positivo infinito).
Logo: - Se
, então e . - Se
, então e . - Se
, então a expressão é constante , logo o limite é .
Passo 5
Resumo lógico (sem repetição da resposta final formatada): com
o grau do denominador é maior que o do numerador e o quociente tende a zero; com
o denominador é constante
e o comportamento do limite é determinado pelo sinal de
(crescimento polinomial de grau
) ou, no caso
, é simplesmente
.
Resposta
Se
:
Se e
:
Se e
:
Se e
:
Se
Se
Se