Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a x^{2019}+1}{b x^{2020}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2019}+1}{b x^{2020}-1},
onde a e b são constantes (não foram dadas mais informações sobre seus valores). Informações relevantes que temos:
  • O numerador é a x^{2019}+1 (polinômio de grau 2019).
  • O denominador é b x^{2020}-1 (polinômio de grau 2020).
  • O que se pede é o comportamento da fração quando x cresce sem limite ( x\to\infty ).
    Não se começou a resolver nada neste passo; apenas identificamos o que a questão dá e o que ela pede.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): quando se tem um limite de uma razão de polinômios com x\to\infty, é útil dividir numerador e denominador por uma potência de x igual ao maior grau que aparece no denominador ou no numerador. Isso transforma cada termo em algo do tipo constante, 1/x, 1/x^2, etc., e sabemos que 1/x^k\to0 quando x\to\infty para qualquer k>0. Aqui o maior grau entre numerador e denominador é 2020, então dividimos ambos por x^{2020}.

Passo 3

Aplicando a divisão por x^{2020} (feito passo a passo):
\frac{a x^{2019}+1}{b x^{2020}-1} = \frac{\dfrac{a x^{2019}}{x^{2020}}+\dfrac{1}{x^{2020}}}{\dfrac{b x^{2020}}{x^{2020}}-\dfrac{1}{x^{2020}}} = \frac{\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^{2020}}}{b-\dfrac{1}{x^{2020}}}.
Agora analisamos os termos quando x\to\infty:
  • \dfrac{a}{x}\to0 porque 1/x\to0.
  • \dfrac{1}{x^{2020}}\to0 porque potências positivas de 1/x tendem a zero.
    Portanto o numerador tende a 0+0=0 e o denominador tende a b-0=b. Isso já permite concluir um caso importante: se b\neq 0, o limite é
\lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2019}+1}{b x^{2020}-1}= \frac{0}{b}=0.

Passo 4

Análise do caso em que b=0 (não podemos dividir pelo que zeraria o termo dominante do denominador):
Se b=0 a expressão fica
\frac{a x^{2019}+1}{0\cdot x^{2020}-1}=\frac{a x^{2019}+1}{-1}=-(a x^{2019}+1).
Agora estudar o limite de -(a x^{2019}+1) quando x\to\infty. Observações sobre x^{2019}:
  • Para x\to\infty temos x^{2019}\to\infty (pois a potência é ímpar, mas para x\to+\infty fica positivo infinito).
    Logo:
  • Se a>0, então a x^{2019}\to+\infty e -(a x^{2019}+1)\to -\infty.
  • Se a<0, então a x^{2019}\to -\infty e -(a x^{2019}+1)\to +\infty.
  • Se a=0, então a expressão é constante -(0\cdot x^{2019}+1)=-1, logo o limite é -1.

Passo 5

Resumo lógico (sem repetição da resposta final formatada): com b\neq0 o grau do denominador é maior que o do numerador e o quociente tende a zero; com b=0 o denominador é constante -1 e o comportamento do limite é determinado pelo sinal de a (crescimento polinomial de grau 2019) ou, no caso a=0, é simplesmente -1.

Resposta

Se b\neq 0: 0
Se b=0 e a>0: -\infty
Se b=0 e a<0: +\infty
Se b=0 e a=0: -1

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