Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a x^{2019}+1}{b x^{2019}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a x^{2019}+1}{b x^{2019}-1}.
Dados fornecidos:
  • a e b são constantes (reais, presumivelmente).
  • A potência é \,2019 (ímpar, mas para x\to\infty isso apenas garante x^{2019}>0).
  • O limite é tomado quando x\to\infty.
Pergunta clara: qual é o valor (finito ou infinito) desse limite, em função de a e b?

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): em quocientes de polinômios, para x\to\infty os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma maneira mecânica e segura de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui \,x^{2019}). Isso reduz a expressão a uma forma onde aparecem potências negativas de x que tendem a zero quando x\to\infty.
Aplicando isso:
\frac{a x^{2019}+1}{b x^{2019}-1} = \frac{x^{2019}\!\left(a + \dfrac{1}{x^{2019}}\right)}{x^{2019}\!\left(b - \dfrac{1}{x^{2019}}\right)} = \frac{a + x^{-2019}}{b - x^{-2019}}.
Aqui explico cada símbolo:
  • x^{-2019} é a mesma coisa que \dfrac{1}{x^{2019}}.
  • Quando x\to\infty, tem-se x^{-2019}\to 0.

Passo 3

Analisando o limite da forma simplificada: como x^{-2019}\to 0,
\frac{a + x^{-2019}}{b - x^{-2019}} \longrightarrow \frac{a+0}{b-0}=\frac{a}{b},
desde que seja permitido substituir x^{-2019} por 0 na expressão — isto é, desde que o denominador no limite não seja zero. Portanto este argumento é válido quando b\neq 0. Conclusão parcial: se b\neq 0, o limite é \dfrac{a}{b}. Isso inclui o caso a=0 (então o limite é 0).

Passo 4

Falta tratar a situação em que b=0 (o caso que impede a divisão direta por b). Se b=0 a expressão é
\frac{a x^{2019}+1}{-1} = -(a x^{2019}+1).
Agora vemos subcasos:
  • Se b=0 e a\neq 0: o termo dominante no numerador é a x^{2019}. Como x^{2019}\to\infty e o denominador é a constante -1, o quociente tende a infinito com sinal determinado por -a. Explicitamente:
    • se a>0 então \,a x^{2019}\to +\infty e -(a x^{2019}+1)\to -\infty;
    • se a<0 então \,a x^{2019}\to -\infty e -(a x^{2019}+1)\to +\infty.
  • Se b=0 e a=0: a expressão é \dfrac{1}{-1}=-1. Então o limite é -1 (valor finito).

Passo 5

Resumo didático e um exemplo rápido para fixar:
  • Método padrão: dividir por x^{\text{maior grau}} e observar que termos com x em potência negativa vão para 0.
  • Exemplo rápido: para \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^3+1}{5x^3-1} o mesmo raciocínio dá 2/5.
  • No nosso caso, a forma geral leva a \dfrac{a}{b} quando b\neq 0; quando b=0 é preciso separar os subcasos descritos acima.

Resposta

Se b\neq 0: \displaystyle \frac{a}{b}.
Se b=0 e a>0: -\infty.
Se b=0 e a<0: +\infty.
Se a=b=0: -1.

Exercícios relacionados