Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
-
e são constantes (reais, presumivelmente). - A potência é
(ímpar, mas para isso apenas garante ). - O limite é tomado quando
.
Pergunta clara: qual é o valor (finito ou infinito) desse limite, em função de
e
?
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): em quocientes de polinômios, para
os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma maneira mecânica e segura de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Isso reduz a expressão a uma forma onde aparecem potências negativas de
que tendem a zero quando
.
Aplicando isso:
Aqui explico cada símbolo:
-
é a mesma coisa que . - Quando
, tem-se .
Passo 3
Analisando o limite da forma simplificada: como
,
desde que seja permitido substituir
por
na expressão — isto é, desde que o denominador no limite não seja zero. Portanto este argumento é válido quando
. Conclusão parcial: se
, o limite é
. Isso inclui o caso
(então o limite é
).
Passo 4
Falta tratar a situação em que
(o caso que impede a divisão direta por
). Se
a expressão é
Agora vemos subcasos:
-
Se
e : o termo dominante no numerador é . Como e o denominador é a constante , o quociente tende a infinito com sinal determinado por . Explicitamente: - se
então e ; - se
então e .
- se
-
Se
e : a expressão é . Então o limite é (valor finito).
Passo 5
Resumo didático e um exemplo rápido para fixar:
- Método padrão: dividir por
e observar que termos com em potência negativa vão para . - Exemplo rápido: para
o mesmo raciocínio dá . - No nosso caso, a forma geral leva a
quando ; quando é preciso separar os subcasos descritos acima.
Resposta
Se
:
.
Se
e
:
.
Se
e
:
.
Se
:
.