Chama-se plano de incidência ao par (
) onde
é um conjunto de pontọs e
é uma coleção de subconjuntos de
, denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas
e à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. Verifique se são planos de incidência os pares
seguintes:
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o par
, com
e
, satisfaz os axiomas de incidência
I (existência de reta por dois pontos), I
(unicidade de reta determinada por dois pontos)
e a condição extra de que cada reta tenha pelo menos dois pontos.
I
e a condição extra de que cada reta tenha pelo menos dois pontos.
Passo 2
Verificação de I
: dado qualquer par de pontos distintos em
, isto é, somente
e
, existe ao menos uma reta em
que contenha ambos.
De fato, a única reta em é
, logo
De fato, a única reta em
Passo 3
Verificação de I
: se duas retas de
compartilham dois pontos distintos, então elas devem coincidir.
Aqui tem apenas uma reta, logo não há duas retas distintas para comparar. A condição vale vacuamente.
Aqui
Passo 4
Verificação da condição “cada reta possui pelo menos dois pontos”:
A única reta tem exatamente dois pontos, satisfazendo a condição.
A única reta
Resposta
Sim. O par
é um plano de incidência, pois satisfaz I
, I
e cada reta contém no mínimo dois pontos.