Chama-se plano de incidência ao par ( P, R ) onde P é um conjunto de pontọs e R é uma coleção de subconjuntos de P, denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas I1, I2 e à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. Verifique se são planos de incidência os pares (P, R) seguintes:
P=A, B e R=A, B

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o par (P,R), com
P=A,B e R=A,B, satisfaz os axiomas de incidência
I 1 (existência de reta por dois pontos), I 2 (unicidade de reta determinada por dois pontos)
e a condição extra de que cada reta tenha pelo menos dois pontos.

Passo 2

Verificação de I 1: dado qualquer par de pontos distintos em P, isto é, somente A e B, existe ao menos uma reta em R que contenha ambos.
De fato, a única reta em R é A,B, logo
para Aneq B,,;A,BinR contém ambos é

Passo 3

Verificação de I 2: se duas retas de R compartilham dois pontos distintos, então elas devem coincidir.
Aqui R tem apenas uma reta, logo não há duas retas distintas para comparar. A condição vale vacuamente.

Passo 4

Verificação da condição “cada reta possui pelo menos dois pontos”:
A única reta A,B tem exatamente dois pontos, satisfazendo a condição.

Resposta

Sim. O par (P,R) é um plano de incidência, pois satisfaz I 1, I 2 e cada reta contém no mínimo dois pontos.

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