Chama-se plano de incidência ao par ( P, R ) onde P é um conjunto de pontọs e R é uma coleção de subconjuntos de P, denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas I1, I2 e à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. Verifique se são planos de incidência os pares (P, R) seguintes:
P=A, B, C e R=A, B,A, C

Passo 1

O enunciado define um plano de incidência como um par (P,R) que satisfaz aos seguintes requisitos:
  1. Todo par de pontos distintos em P está contido em uma e somente uma reta de R. (axioma I1)
  2. Cada reta em R contém pelo menos dois pontos de P. (axioma I2)
Aqui temos
P=A,B,C
R=lA,B,A,Cr.
Vamos verificar se esses conjuntos satisfazem I1 e I2.

Passo 2

Verificação de I2: cada reta deve ter pelo menos dois pontos.
  • A reta A,B contém exatamente A e B.
  • A reta A,C contém exatamente A e C.
    Logo ambas as retas têm pelo menos dois pontos, e I2 está satisfeita.

Passo 3

Verificação de I1: para todo par de pontos distintos deve haver exatamente uma reta que os contenha.
  • Para A,B existe a reta A,B.
  • Para A,C existe a reta A,C.
  • Para B,C não há nenhuma reta em R que contenha simultaneamente B e C.
Portanto falha-se o axioma I1.

Resposta

O par l(A,B,C,A,B,A,Cr) não é um plano de incidência, pois os pontos B e C não pertencem a nenhuma reta de R.

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