Chama-se plano de incidência ao par (
) onde
é um conjunto de pontọs e
é uma coleção de subconjuntos de
, denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas
e à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. Verifique se são planos de incidência os pares
seguintes:
e
Passo 1
O enunciado define um plano de incidência como um par
que satisfaz aos seguintes requisitos:
- Todo par de pontos distintos em
está contido em uma e somente uma reta de . (axioma ) - Cada reta em
contém pelo menos dois pontos de . (axioma )
Aqui temos
.
Vamos verificar se esses conjuntos satisfazem e
.
Vamos verificar se esses conjuntos satisfazem
Passo 2
Verificação de
: cada reta deve ter pelo menos dois pontos.
- A reta
contém exatamente e . - A reta
contém exatamente e .
Logo ambas as retas têm pelo menos dois pontos, eestá satisfeita.
Passo 3
Verificação de
: para todo par de pontos distintos deve haver exatamente uma reta que os contenha.
- Para
existe a reta . - Para
existe a reta . - Para
não há nenhuma reta em que contenha simultaneamente e .
Portanto falha-se o axioma
.
Resposta
O par
não é um plano de incidência, pois os pontos
e
não pertencem a nenhuma reta de
.