Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Mostra que U times V=(u, v) / u in U e v in V é um espaço vetorial sobre R em relação ao seguinte par de operaçōes:
ii) a(u1, v1)=(a u1, a u2), a in R

Passo 1

O enunciado diz que U e V são espaços vetoriais sobre R e define o produto cartesiano
Utimes V = (u,v)mid uin U,;vin V
com as operações usuais coordenada a coordenada:
– soma:
(u1,v1)+(u2,v2) = (,u1+u2,;v1+v2,),
– multiplicação escalar (item ii):
a,(u,v) = (,a,u,;a,v,), ainR
Queremos mostrar que, com essas operações, Utimes V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos que (Utimes V,+) é um grupo abeliano coordenada a coordenada, usando que U e V já são grupos abelianos sob adição:
  1. Fechamento: se (u1,v1),(u2,v2)in Utimes V, então u1+u2in U e v1+v2in V, logo (u1+u2,v1+v2)in Utimes V.
  2. Associatividade:
l((u1,v1)+(u2,v2)r)+(u3,v3) =(u1+u2,v1+v2)+(u3,v3) =(u1+u2+u3,;v1+v2+v3),
o mesmo resultado de (u1,v1)+l((u2,v2)+(u3,v3)r).
3. Comutatividade:
(u1,v1)+(u2,v2)=(u1+u2,;v1+v2)=(u2+u1,;v2+v1) =(u2,v2)+(u1,v1)
  1. Elemento neutro: (0U,0V) satisfaz
    (u,v)+(0U,0V)=(u+0U,;v+0V)=(u,v).
  2. Inverso aditivo: o inverso de (u,v) é (-u,-v), pois
    (u,v)+(-u,-v)=(u-u,;v-v)=(0U,0V).

Passo 3

Agora vemos os axiomas envolvendo multiplicação escalar, usando que em cada coordenada U e V já satisfazem essas propriedades:
  1. Fechamento: se (u,v)in Utimes V e ainR, então a,uin U e a,vin V, logo a,(u,v)in Utimes V.
  2. Distributividade sobre soma de vetores:
al((u1,v1)+(u2,v2)r) =a,(u1+u2,;v1+v2) =(a(u1+u2),;a(v1+v2))
=(a,u1+a,u2,;a,v1+a,v2) =(a,u1,a,v1)+(a,u2,a,v2) =a,(u1,v1)+a,(u2,v2)
  1. Distributividade sobre soma de escalares:
(a+b),(u,v)=l((a+b)u,;(a+b)vr) =(a,u+b,u,;a,v+b,v) =(a,u,a,v)+(b,u,b,v)
=a,(u,v)+b,(u,v)
  1. Compatibilidade de escalares:
al(b,(u,v)r) =a,(b,u,;b,v) =(a,b,u,;a,b,v) =(a b),(u,v)
  1. Identidade escalar:
1,(u,v)=(1,u,;1,v)=(u,v)

Resposta

Portanto, com a soma definida coordenada a coordenada e a multiplicação escalar a,(u,v)=(a,u,a,v), o conjunto Utimes V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

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