Sejam
e
espaços vetoriais sobre
. Mostra que
e
é um espaço vetorial sobre
em relação ao seguinte par de operaçōes:
ii)
ii)
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais sobre
e define o produto cartesiano
com as operações usuais coordenada a coordenada:
– soma:
– soma:
– multiplicação escalar (item ii):
Queremos mostrar que, com essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano coordenada a coordenada, usando que
e
já são grupos abelianos sob adição:
- Fechamento: se
, então e , logo . - Associatividade:
o mesmo resultado de
.
3. Comutatividade:
3. Comutatividade:
- Elemento neutro:
satisfaz
. - Inverso aditivo: o inverso de
é , pois
.
Passo 3
Agora vemos os axiomas envolvendo multiplicação escalar, usando que em cada coordenada
e
já satisfazem essas propriedades:
- Fechamento: se
e , então e , logo . - Distributividade sobre soma de vetores:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Identidade escalar:
Resposta
Portanto, com a soma definida coordenada a coordenada e a multiplicação escalar
, o conjunto
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.