(2 pts) Considere a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=y^{8}-6 y^{7}+8 y^{6}
Encontre os pontos de equilíbrio e analise suas estabilidades, bem como descreva qualitativamente o comportamento de todas as soluçōes.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dx}=y^{8}-6y^{7}+8y^{6}
e pede três coisas:
  1. Encontrar os pontos de equilíbrio (ou pontos críticos) — ou seja, valores de y tais que \frac{dy}{dx}=0.
  2. Analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio.
  3. Descrever qualitativamente o comportamento (trajetórias/soluções) para todas as condições iniciais possíveis.
Informações relevantes dadas: a equação é autônoma (a função do lado direito depende apenas de y), o que permite usar fatoração, linha de fase em 1D e testes de estabilidade por derivada. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Um ponto de equilíbrio y_* satisfaz
0 = y^{8}-6y^{7}+8y^{6}.
Fatorando em passos simples:
y^{8}-6y^{7}+8y^{6}=y^{6}\bigl(y^{2}-6y+8\bigr).
Agora fatoramos a quadrática:
y^{2}-6y+8=(y-2)(y-4).
Portanto
\frac{dy}{dx}=y^{6}(y-2)(y-4).
Os zeros são os pontos de equilíbrio:
y_*=0\quad(\text{multiplicidade }6),\qquad y_*=2,\qquad y_*=4.

Passo 3

Teste de estabilidade linear (quando possível). A ideia: para um equilíbrio y_* calcular f'(y_*) onde f(y)=y^{6}(y-2)(y-4). Se f'(y_*)<0 então y_* é linearmente estável (atrator local, assintoticamente estável); se f'(y_*)>0 então é instável (repulsor); se f'(y_*)=0 o teste linear é inconclusivo e precisamos de análise adicional.
Vamos derivar f(y). Usando produto e soma já que f(y)=y^{6}(y^{2}-6y+8):
f'(y)=6y^{5}(y^{2}-6y+8)+y^{6}(2y-6).
Agora avaliamos em y=2 e y=4.
Para y=2:
f'(2)=6\cdot 2^{5}\bigl(2^{2}-6\cdot2+8\bigr)+2^{6}(2\cdot2-6).
Observe que 2^{2}-12+8=0, logo a primeira parcela é zero. Assim
f'(2)=2^{6}(4-6)=64\cdot(-2)=-128<0.
Conclusão: y=2 é um equilíbrio linearmente estável (atrator local, assintoticamente estável).
Para y=4:
f'(4)=6\cdot 4^{5}\bigl(4^{2}-6\cdot4+8\bigr)+4^{6}(2\cdot4-6).
Novamente 4^{2}-24+8=0, então a primeira parcela é zero. A segunda parcela é
4^{6}(8-6)=4^{6}\cdot 2=4096\cdot 2=8192>0.
Conclusão: y=4 é um equilíbrio instável (repulsor).

Passo 4

Análise de y=0 (caso não-hiperbólico). Calculamos f'(0) a partir da expressão:
f'(0)=6\cdot 0^{5}(\ldots)+0^{6}(\ldots)=0.
Portanto o teste linear falha. Precisamos olhar o comportamento de f(y) perto de y=0. Expandindo a fatoração já obtida:
f(y)=y^{6}(y-2)(y-4)=y^{6}\bigl(8-6y+y^{2}\bigr).
Para y pequeno, o termo dominante é 8y^{6}, ou seja
f(y)\approx 8y^{6}\quad\text{quando }y\to 0.
Observações importantes:
  • y^{6}\ge 0 para todo y, daí 8y^{6}\ge 0. Logo para y pequeno e não nulo, f(y)>0.
  • Isso implica: para y ligeiramente negativo temos \frac{dy}{dx}>0 (solução aumenta, move-se para a direita, em direção a y=0); para y ligeiramente positivo também \frac{dy}{dx}>0 (solução aumenta, move-se para a direita, afastando-se de y=0).
Portanto y=0 é semiestável/semihiperbólico: atrai soluções que vêm da esquerda (valores negativos) e repele soluções à direita (valores positivos). Em termos práticos: 0 é estável à esquerda e instável à direita.

Passo 5

Sinal de f(y) em cada intervalo e comportamento direcional (linha de fase). Como y^{6}>0 para y\ne 0, o sinal de f(y) é o mesmo do produto (y-2)(y-4). Vamos checar intervalos:
  • Para y<2: temos y-2<0 e y-4<0 então (y-2)(y-4)>0. Logo f(y)>0 em todo intervalo (-\infty,2) exceto nos zeros. Em particular isso vale em (-\infty,0) e (0,2).
  • Para 2<y<4: (y-2)>0 e (y-4)<0 então (y-2)(y-4)<0. Logo f(y)<0 em (2,4).
  • Para y>4: (y-2)>0 e (y-4)>0 então (y-2)(y-4)>0. Logo f(y)>0 em (4,\infty).
Interpretação (setas da linha de fase):
  • Em (-\infty,0): \frac{dy}{dx}>0 → soluções crescem (seta para a direita).
  • Em (0,2): \frac{dy}{dx}>0 → soluções crescem (seta para a direita).
  • Em (2,4): \frac{dy}{dx}<0 → soluções decrescem (seta para a esquerda).
  • Em (4,\infty): \frac{dy}{dx}>0 → soluções crescem (seta para a direita).
Dessa linha de fase segue-se o destino das soluções:
  • Se y(0)<0: y(x) aumenta (monótona) e tende a 0 quando x\to+\infty (não cruza 0 porque levaria tempo infinito — ver passo 6). Assim 0 atrai pela esquerda.
  • Se 0<y(0)<2: y(x) aumenta e tende a 2 quando x\to+\infty.
  • Se y(0)=2: solução constante y(x)\equiv 2.
  • Se 2<y(0)<4: y(x) decresce e tende a 2 quando x\to+\infty.
  • Se y(0)=4: solução constante y(x)\equiv 4.
  • Se y(0)>4: y(x) aumenta; veremos no passo 6 que esta subida pode levar a \infty em tempo finito.

Passo 6

Tempo para atingir equilibria e possibilidade de blow-up (explosão em tempo finito). Para consistência, examinamos integrais separáveis. A EDO é separável:
\frac{dy}{dx}=f(y)\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{dy}{f(y)}.
Para verificar se uma solução alcança um valor y_1 partindo de y_0 em tempo finito, examinamos \int_{y_0}^{y_1}\frac{dy}{f(y)}.
  • Chegar a y=2: como f'(2)=-128\neq 0, linearização mostra comportamento exponencial local, e o tempo para aproximar 2 tende a infinito (trajetórias assintoticamente alcançam 2 quando x\to+\infty). Portanto soluções que se dirigem para 2 só atingem exatamente 2 no limite x\to\infty, não em tempo finito.
  • Tocar y=0 a partir de y<0: para y próximo de 0, f(y)\approx 8y^{6}. Então o tempo necessário para ir de y_0<0 até 0 é aproximadamente
\int_{y_0}^{0}\frac{dy}{8y^{6}},
que diverge (comportamento como \int y^{-6}dy\sim y^{-5} que diverge quando o limite se aproxima de 0). Logo leva tempo infinito para atingir 0 — portanto soluções negativas aproximam 0 quando x\to+\infty, sem cruzar.
  • Explosão para +\infty quando y>4: para y grande domina y^{8}, então para y\ge y_0>4
\int_{y_0}^{\infty}\frac{dy}{y^{8}}
é convergente (pois \int_{y_0}^{\infty} y^{-8}dy = \frac{1}{7y_0^{7}}<\infty). Isso significa que uma solução com y(0)=y_0>4 atinge +\infty em tempo finito — há blow-up em tempo finito para condições iniciais maiores que 4. Em outras palavras, as soluções com y(0)>4 crescem até +\infty e atingem esse infinito em um valor finito de x.

Passo 7

Resumo qualitativo e interpretação física (estilo amigo: sem drama, passo a passo):
  • Pontos de equilíbrio: \;y=0,\;y=2,\;y=4.
  • Estabilidades:
    • \;y=2 é assintoticamente estável (atrator): f'(2)=-128<0.
    • \;y=4 é instável (repulsor): f'(4)=8192>0.
    • \;y=0 é não-hiperbólico e semi-estável: atrai soluções vindas da esquerda (valores negativos) e repele soluções à direita (valores positivos).
  • Comportamento das soluções dependendo de y(0):
    • Se y(0)<0: y(x) aumenta monotonamente e \lim_{x\to+\infty}y(x)=0. Não alcança 0 em tempo finito.
    • Se 0<y(0)<2: y(x) aumenta monotonamente e \lim_{x\to+\infty}y(x)=2.
    • Se y(0)=2: solução constante y(x)\equiv 2.
    • Se 2<y(0)<4: y(x) decresce monotonamente e \lim_{x\to+\infty}y(x)=2.
    • Se y(0)=4: solução constante y(x)\equiv 4.
    • Se y(0)>4: y(x) aumenta e explode para +\infty em tempo finito (blow-up).

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=0,\;y=2,\;y=4.
Estabilidades: y=2 é assintoticamente estável ( f'(2)=-128<0); y=4 é instável ( f'(4)=8192>0); y=0 é semi-estável (atrai pela esquerda e repele pela direita).
Comportamento qualitativo das soluções:
Se y(0)<0 então y(x) aumenta e \lim_{x\to+\infty}y(x)=0.
Se 0<y(0)<2 então y(x) aumenta e \lim_{x\to+\infty}y(x)=2.
Se y(0)=2 então y(x)\equiv 2.
Se 2<y(0)<4 então y(x) decresce e \lim_{x\to+\infty}y(x)=2.
Se y(0)=4 então y(x)\equiv 4.
Se y(0)>4 então y(x) cresce e atinge +\infty em tempo finito (blow-up).

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