(2 pts) Considere a equação diferencial
Encontre os pontos de equilíbrio e analise suas estabilidades, bem como descreva qualitativamente o comportamento de todas as soluçōes.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
e pede três coisas:
- Encontrar os pontos de equilíbrio (ou pontos críticos) — ou seja, valores de
tais que . - Analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio.
- Descrever qualitativamente o comportamento (trajetórias/soluções) para todas as condições iniciais possíveis.
Informações relevantes dadas: a equação é autônoma (a função do lado direito depende apenas de
), o que permite usar fatoração, linha de fase em 1D e testes de estabilidade por derivada. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Um ponto de equilíbrio
satisfaz
Fatorando em passos simples:
Agora fatoramos a quadrática:
Portanto
Os zeros são os pontos de equilíbrio:
Passo 3
Teste de estabilidade linear (quando possível). A ideia: para um equilíbrio
calcular
onde
. Se
então
é linearmente estável (atrator local, assintoticamente estável); se
então é instável (repulsor); se
o teste linear é inconclusivo e precisamos de análise adicional.
Vamos derivar
. Usando produto e soma já que
:
Agora avaliamos em
e
.
Para
:
Observe que
, logo a primeira parcela é zero. Assim
Conclusão:
é um equilíbrio linearmente estável (atrator local, assintoticamente estável).
Para
:
Novamente
, então a primeira parcela é zero. A segunda parcela é
Conclusão:
é um equilíbrio instável (repulsor).
Passo 4
Análise de
(caso não-hiperbólico). Calculamos
a partir da expressão:
Portanto o teste linear falha. Precisamos olhar o comportamento de
perto de
. Expandindo a fatoração já obtida:
Para
pequeno, o termo dominante é
, ou seja
Observações importantes:
-
para todo , daí . Logo para pequeno e não nulo, . - Isso implica: para
ligeiramente negativo temos (solução aumenta, move-se para a direita, em direção a ); para ligeiramente positivo também (solução aumenta, move-se para a direita, afastando-se de ).
Portanto
é semiestável/semihiperbólico: atrai soluções que vêm da esquerda (valores negativos) e repele soluções à direita (valores positivos). Em termos práticos: 0 é estável à esquerda e instável à direita.
Passo 5
Sinal de
em cada intervalo e comportamento direcional (linha de fase). Como
para
, o sinal de
é o mesmo do produto
. Vamos checar intervalos:
- Para
: temos e então . Logo em todo intervalo exceto nos zeros. Em particular isso vale em e . - Para
: e então . Logo em . - Para
: e então . Logo em .
Interpretação (setas da linha de fase):
- Em
: → soluções crescem (seta para a direita). - Em
: → soluções crescem (seta para a direita). - Em
: → soluções decrescem (seta para a esquerda). - Em
: → soluções crescem (seta para a direita).
Dessa linha de fase segue-se o destino das soluções:
- Se
: aumenta (monótona) e tende a quando (não cruza 0 porque levaria tempo infinito — ver passo 6). Assim atrai pela esquerda. - Se
: aumenta e tende a quando . - Se
: solução constante . - Se
: decresce e tende a quando . - Se
: solução constante . - Se
: aumenta; veremos no passo 6 que esta subida pode levar a em tempo finito.
Passo 6
Tempo para atingir equilibria e possibilidade de blow-up (explosão em tempo finito). Para consistência, examinamos integrais separáveis. A EDO é separável:
Para verificar se uma solução alcança um valor
partindo de
em tempo finito, examinamos
.
-
Chegar a
: como , linearização mostra comportamento exponencial local, e o tempo para aproximar tende a infinito (trajetórias assintoticamente alcançam quando ). Portanto soluções que se dirigem para só atingem exatamente no limite , não em tempo finito. -
Tocar
a partir de : para próximo de , . Então o tempo necessário para ir de até é aproximadamente
que diverge (comportamento como
que diverge quando o limite se aproxima de
). Logo leva tempo infinito para atingir
— portanto soluções negativas aproximam
quando
, sem cruzar.
- Explosão para
quando : para grande domina , então para
é convergente (pois
). Isso significa que uma solução com
atinge
em tempo finito — há blow-up em tempo finito para condições iniciais maiores que
. Em outras palavras, as soluções com
crescem até
e atingem esse infinito em um valor finito de
.
Passo 7
Resumo qualitativo e interpretação física (estilo amigo: sem drama, passo a passo):
- Pontos de equilíbrio:
- Estabilidades:
-
é assintoticamente estável (atrator): . -
é instável (repulsor): . -
é não-hiperbólico e semi-estável: atrai soluções vindas da esquerda (valores negativos) e repele soluções à direita (valores positivos).
-
- Comportamento das soluções dependendo de
: - Se
: aumenta monotonamente e . Não alcança em tempo finito. - Se
: aumenta monotonamente e . - Se
: solução constante . - Se
: decresce monotonamente e . - Se
: solução constante . - Se
: aumenta e explode para em tempo finito (blow-up).
- Se
Resposta
Pontos de equilíbrio:
Estabilidades: é assintoticamente estável (
);
é instável (
);
é semi-estável (atrai pela esquerda e repele pela direita).
Comportamento qualitativo das soluções:
Se então
aumenta e
.
Se então
aumenta e
.
Se então
.
Se então
decresce e
.
Se então
.
Se então
cresce e atinge
em tempo finito (blow-up).
Estabilidades:
Comportamento qualitativo das soluções:
Se
Se
Se
Se
Se
Se