Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Assim, calcule o traço de cada uma das seguintes matrizes:
a) A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 5 & 3 \\\\ -4 & -1 & 3\end{array}\right)^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o traço da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & 3 \\[4pt] -4 & -1 & 3\end{array}\right)^{t}.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz original (antes da transposição) são -3,2,2 na primeira linha; 0,5,3 na segunda; e -4,-1,3 na terceira. A pergunta específica é: qual é \operatorname{tr}(A)?]

Passo 2

Definição e fórmula do traço: o traço de uma matriz quadrada B é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Em notação,
\operatorname{tr}(B)=\sum_{i=1}^{n} b_{ii},
onde b_{ii} é o elemento da linha i e coluna i de B, e n é a ordem da matriz (neste caso n=3). Isso significa que, para calcular o traço, eu pego apenas os elementos que estão na posição (1,1), (2,2), (3,3), etc., e somo.

Passo 3

Propriedade importante (útil na prova): o traço é invariante por transposição. Explicando por quê: se B=(b_{ij}) então (B^{t})_{ij}=b_{ji}. Em particular, os elementos da diagonal satisfazem
(B^{t})_{ii}=b_{ii}\quad\text{para todo }i.
Somando em i obtemos
\operatorname{tr}(B^{t})=\sum_{i=1}^{n}(B^{t})_{ii}=\sum_{i=1}^{n}b_{ii}=\operatorname{tr}(B).
Ou seja, transpor a matriz não muda a soma dos elementos da diagonal. Dica prática: não precisa escrever a matriz transposta inteira para achar o traço — basta somar a diagonal da matriz original.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como A é a transposta da matriz dada, temos
\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\!\left(\left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & 3 \\[4pt] -4 & -1 & 3\end{array}\right)^{t}\right)=\operatorname{tr}\!\left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & 3 \\[4pt] -4 & -1 & 3\end{array}\right).
Aqui eu peguei os números da matriz que aparece no enunciado (estou usando os dados da matriz fornecida).]

Passo 5

Agora identifico os elementos da diagonal principal da matriz dada: são -3 (posição (1,1)), 5 (posição (2,2)) e 3 (posição (3,3)). Vou somá-los passo a passo:
-3+5=2,
2+3=5.

Passo 6

Conclusão: a soma dos elementos da diagonal (o traço) é 5. Força aí — traço de transposta sempre igual ao traço da matriz original, então esse tipo de questão é rapidinha na prova quando você lembrar desse fato.

Resposta

\operatorname{tr}(A)=5

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