1. (a) Obtenha a expressão da transformada de Fourier do pulso retangular e construa o diagrama de espectro de Fourier (diagrama de amplitudes) para a transformada do pulso retangular para \tau=1 e \tau=1 / 2.
g(t)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2 \tau}, & \text { se }-\tau<t<\tau \\\\ 0, & \text { se } t<-\tau \text { ou } t>\tau \end{array}\right.
(b) Obtenha os coeficientes da série de Fourier complexa do cosseno, h(t)=\cos (\Omega t). Esboce o diagrama de espectro de Fourier.
(c) Considere o perfil de onda cossenoidal de duração finita, definida por:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc} \cos (\Omega t), & \text { se }-\tau / 2<t<\tau / 2 \\\\ 0, & \text { se } t<-\tau / 2 \text { ou } t>\tau / 2 \end{array}\right.
Mostre que a transformada de Fourier da onda cossenoidal de duração finita acima é uma combinação linear de funções sinc:
F(\omega)=\frac{\tau}{2}\left(\frac{\sin (\omega-\Omega) \tau / 2}{(\omega-\Omega) \tau / 2}+\frac{\sin (\omega+\Omega) \tau / 2}{(\omega+\Omega) \tau / 2}\right) .
e construa o diagrama de espectro de F(\omega).
(d) Mostre que o princípio da incerteza se aplica ao pulso retangular do item (a) e sua transformada.
(e) Analise o comportamento da transformada de Fourier e esboce o diagrama de amplitudes de Fourier para os limites \Omega / \pi \gg 1 / \tau e \Omega / \pi \ll 1 / \tau.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido e claro):
  • Foi dada a função pulso retangular
g(t)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2\tau}, & -\tau<t<\tau,\\[6pt] 0, & t<-\tau\\ \text{ou}\\ t>\tau, \end{cases}
e há cinco itens (a)–(e).
  • Perguntas:(a) Obter a transformada de Fourier de g(t)\) e esboçar o diagrama de amplitudes para \(\tau=1\) e \(\tau=1/2\). (b) Obter os coeficientes da série de Fourier complexa de \(h(t)=\cos(\Omega t)\) e esboçar o diagrama de espectro. \text{(c)} Para a onda cossenoidal de duração finita \[f(t)=\begin{cases} \cos(\Omega t), & -\tau/2<t<\tau/2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}mostrar que F(\omega)=\frac{\tau}{2}\!\left(\frac{\sin((\omega-\Omega)\tau/2)}{(\omega-\Omega)\tau/2}+\frac{\sin((\omega+\Omega)\tau/2)}{(\omega+\Omega)\tau/2}\right)e esboçar o espectro.
    (d) Mostrar que o princípio da incerteza se aplica ao pulso retangular do item (a) e sua transformada.
    (e) Analisar o comportamento de F(\omega)\] nos limites \(\Omega/\pi \gg 1/\tau e \Omega/\pi \ll 1/\tau e esboçar o diagrama de amplitudes.
  • Observações úteis (dados práticos):
    • Não foi especificada a convenção da transformada; vou usar a convenção angular comum: G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
    • Funções apresentadas são reais e temporariamente limitadas (pulso/ janela), então as transformadas ocorrerão por integrais explícitas.
  • A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Derivando a transformada de Fourier de g(t) (item (a)), passo a passo:
  • Definição usada: G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
  • Como g(t)=\dfrac{1}{2\tau} somente em -\tau<t<\tau e é nula fora, a integral reduz a G(\omega)=\int_{-\tau}^{\tau}\frac{1}{2\tau}\,e^{-i\omega t}\,dt.
  • Integrando a exponencial (fórmula básica): para \alpha\neq0, \int e^{-i\alpha t}\,dt=\frac{e^{-i\alpha t}}{-i\alpha}.Aqui \alpha=\omega.
  • Aplicando os limites: G(\omega)=\frac{1}{2\tau}\left[\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\right]_{t=-\tau}^{t=\tau} =\frac{1}{2\tau}\cdot\frac{e^{-i\omega\tau}-e^{i\omega\tau}}{-i\omega}.
  • Simplificando usando e^{-i\theta}-e^{i\theta}=-2i\sin\theta: G(\omega)=\frac{1}{2\tau}\cdot\frac{-2i\sin(\omega\tau)}{-i\omega} =\frac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau}.
  • Interpretando: a transformada é a função sinc (não normalizada): G(\omega)=\frac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau}.Observações: \displaystyle G(0)=\lim_{\omega\to0}\frac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau}=1.

Passo 3

Esboço e propriedades do diagrama de amplitudes para g(t) (continuação do (a)):
  • Magnitude do espectro: |G(\omega)|=\left|\frac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau}\right|.
  • Zeros (importante para esboço): zeros em \omega\tau=n\pi para todo n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. Ou seja, \omega=n\frac{\pi}{\tau},\qquad n=\pm1,\pm2,\dots
  • Lóbulos: existe um lóculo principal centrado em \omega=0 (altura 1) e lóbulos secundários decrescentes para |ω| maiores.
  • Para desenhar os casos pedidos:
    • Para \tau=1: zeros em \omega=\pm\pi,\pm2\pi,\dots. O lóbulo principal vai de -\pi a +\pi (zero nas bordas).
    • Para \tau=1/2: zeros em \omega=\pm2\pi,\pm4\pi,\dots. O lóbulo principal vai de -2\pi a +2\pi.
  • Observação conceitual útil (escala inversa): aumentar \tau (pulso mais longo) estreita o espectro; diminuir \tau (pulso mais curto) alarga o espectro. Essa propriedade é a base do princípio de incerteza tempo/frequência.

Passo 4

Série de Fourier complexa de h(t)=\cos(\Omega t) (item (b)):
  • Primeiro, lembrar: \cos(\Omega t) é uma função periódica com período T=\frac{2\pi}{\Omega}e a frequência angular fundamental é \omega_0=\Omega.
  • Representação em exponenciais (identidade fundamental): \cos(\Omega t)=\frac{e^{i\Omega t}+e^{-i\Omega t}}{2}.
  • A série de Fourier complexa de uma função periódica com base \{e^{in\omega_0 t}\} é h(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t},com coeficientes c_n=\frac{1}{T}\int_{T} h(t)\,e^{-in\omega_0 t}\,dt.
  • Aplicando a identidade para \cos(\Omega t): como \omega_0=\Omega, em termos do índice n, \cos(\Omega t)=\frac{1}{2}e^{i\cdot 1\cdot \omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{i\cdot(-1)\cdot\omega_0 t}.Portanto, ao comparar com a série, os coeficientes são c_{1}=\frac{1}{2},\qquad c_{-1}=\frac{1}{2},e c_{n}=0\quad\text{para }n\neq\pm1.
  • Espectro (diagrama): em frequência discreta (linhas espectrais), aparecem duas linhas (pulsos/deltas se fôssemos ao domínio das transformadas): em \omega=+\Omega e \omega=-\Omega, cada uma com amplitude complexa 1/2. Se desenharmos apenas amplitudes, são duas barras com altura 1/2 em \pm\Omega.

Passo 5

Transformada de Fourier de f(t) (item (c)) — passo a passo:
  • Definição: F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\tau/2}^{\tau/2}\cos(\Omega t)\,e^{-i\omega t}\,dt,pois f(t)=\cos(\Omega t) apenas no intervalo [-\tau/2,\tau/2].
  • Expandir \cos(\Omega t) em exponenciais: \cos(\Omega t)=\frac{e^{i\Omega t}+e^{-i\Omega t}}{2}.
  • Substituir na integral (separando as duas exponenciais): F(\omega)=\frac{1}{2}\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-i(\omega-\Omega)t}\,dt +\frac{1}{2}\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-i(\omega+\Omega)t}\,dt.
  • Cada integral é do tipo \int_{-a}^{a} e^{-i\alpha t}\,dt com a=\tau/2. Usamos a fórmula (para \alpha\neq0): \int_{-a}^{a} e^{-i\alpha t}\,dt=\frac{e^{-i\alpha a}-e^{i\alpha a}}{-i\alpha} =\frac{2\sin(\alpha a)}{\alpha}.
  • Aplicando com \alpha_1=\omega-\Omega e \alpha_2=\omega+\Omega, obtemos F(\omega)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sin\big((\omega-\Omega)\tau/2\big)}{\omega-\Omega} +\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sin\big((\omega+\Omega)\tau/2\big)}{\omega+\Omega}.Simplificando: F(\omega)=\frac{\sin\big((\omega-\Omega)\tau/2\big)}{\omega-\Omega} +\frac{\sin\big((\omega+\Omega)\tau/2\big)}{\omega+\Omega}.
  • Escrever na forma proposta (fatorizando \tau/2 e normalizando os argumentos, forma sinc): F(\omega)=\frac{\tau}{2}\left(\frac{\sin\big((\omega-\Omega)\tau/2\big)}{(\omega-\Omega)\tau/2} +\frac{\sin\big((\omega+\Omega)\tau/2\big)}{(\omega+\Omega)\tau/2}\right).Isso é exatamente a expressão pedida: soma de duas funções sinc centradas em \omega=\pm\Omega.

Passo 6

Interpretação e esboço do espectro F(\omega) (continuação do (c)):
  • A expressão obtida mostra que o espectro é a soma de duas funções sinc:
    • Uma sinc centrada em \omega=+\Omega.
    • Outra sinc centrada em \omega=-\Omega.
  • Amplitude máxima de cada sinc: quando o argumento da sinc é zero, cada termo vale \tau/2. Então, por exemplo, em \omega=\Omega, o primeiro termo vale \tau/2 e o segundo termo normalmente não é zero (contribuição adicional dependendo de \Omega\tau).
  • Forma prática do esboço:
    • Para \Omega grande (comparado à largura do lóculo da sinc), aparecem dois lóbulos bem separados em \pm\Omega (cada um com forma sinc).
    • Para \Omega pequeno, as duas sinc se sobrepõem e a soma resulta num espectro concentrado próximo a \omega=0 (modulação de envelope).
  • Nota intuitiva: truncar um cosseno em tempo (multiplicar por uma janela retangular) corresponde no domínio da frequência a convolução do espetro do cosseno (deltas em \pm\Omega) com o espectro da janela (sinc). O resultado é justamente deltas “esticadas” em sinc centradas nas posições originais.

Passo 7

Princípio da incerteza aplicado ao pulso retangular (item (d)):
  • Ideia qualitativa (e cálculo aproximado): o princípio da incerteza tempo-frequência diz que não se pode localizar simultaneamente uma função e sua transformada arbitrariamente bem; existe um limite inferior para o produto das larguras (dependendo da convenção de Fourier, um limite típico é \Delta t\,\Delta\omega\gtrsim 1/2).
  • Para o pulso retangular:
    • Extensão temporal aproximada (rms ou medida típica): o pulso tem duração total 2\tau. Uma medida razoável de largura temporal é o desvio-padrão calculado de |g(t)|^2. Calculando rapidamente (passos resumidos): \langle t^2\rangle=\frac{\int_{-\tau}^{\tau} t^2\big(\frac{1}{2\tau}\big)^2\,dt}{\int_{-\tau}^{\tau}\big(\frac{1}{2\tau}\big)^2\,dt} =\frac{\frac{1}{4\tau^2}\cdot\frac{2\tau^3}{3}}{\frac{1}{4\tau^2}\cdot 2\tau}=\frac{\tau^2}{3}.Como a média de t é zero (pulso simétrico), o desvio-padrão é \Delta t=\sqrt{\langle t^2\rangle}=\frac{\tau}{\sqrt{3}}.
    • Largura típica em frequência: o primeiro zero de G(\omega)=\dfrac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau} ocorre em \omega=\pm\pi/\tau. Assim uma medida de largura de banda é aproximadamente \Delta \omega\sim\frac{\pi}{\tau}.
    • Produto aproximado: \Delta t\,\Delta\omega\sim\frac{\tau}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{\tau}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1{,}81.Esse valor é claramente maior que 1/2, portanto satisfeito o limite do princípio da incerteza.
  • Conclusão: o pulso retangular (tempo bem localizado) tem um espectro alargado (sinc); o produto das larguras não pode ser arbitrariamente pequeno — o princípio da incerteza aplica-se e é observado numericamente no caso.

Passo 8

Análise dos limites pedidos (item (e)):
  • Reescrevendo F(\omega) para lembrança: F(\omega)=\frac{\tau}{2}\left(\mathrm{sinc}\big((\omega-\Omega)\tfrac{\tau}{2}\big) +\mathrm{sinc}\big((\omega+\Omega)\tfrac{\tau}{2}\big)\right),onde \mathrm{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
  • Limite 1: \displaystyle \frac{\Omega}{\pi}\gg\frac{1}{\tau} (ou seja, \Omega\tau\gg\pi).
    • Interpretação: a frequência do cosseno é muito maior que a largura do lóculo da sinc.
    • Consequência: as duas sinc centradas em \pm\Omega ficam bem separadas; praticamente não há sobreposição. O espectro mostra dois lóbulos sinc distintos, cada um centrado em \omega=\pm\Omega com largura ~ 2\pi/\tau (largura do lóculo principal).
    • Esboço: duas “montanhas” sinc simétricas afastadas.
  • Limite 2: \displaystyle \frac{\Omega}{\pi}\ll\frac{1}{\tau} (ou seja, \Omega\tau\ll\pi).
    • Interpretação: a frequência do cosseno é muito pequena comparada à largura do lóculo da sinc; os dois lóbulos centrados em \pm\Omega se sobrepõem fortemente.
    • Consequência: a soma das duas sinc produce um único envelope amplo centrado em \omega=0, possivelmente com alguma pequena oscilação dependendo de \Omega\tau. Para \Omega\to0 exatamente, f(t) vira simplesmente a janela retangular de amplitude 1 e F(\omega) reduz-se a \tau\,\mathrm{sinc}(\omega\tau/2) (coerente com a soma das duas sinc que se tornam idênticas).
    • Esboço: um único lóculo largo centrado em zero, possivelmente com um pico mais pronunciado dependendo da fase/soma.
  • Observação física: esses dois regimes correspondem a “modulação com portadora alta” (duas bandas separadas) e “pulso quase não modulado” (banda centrada em zero).

Passo 9

Resumo didático e dicas de prova (pequena aula prática para usar na prova):
  • Para pulsos retangulares: aplique diretamente a integral da exponencial entre os limites do pulso; deve surgir a função sinc.
  • Para cossenos periódicos: escreva como soma de exponenciais e reconheça que apenas dois coeficientes complexos são não nulos.
  • Para cosseno truncado: escreva \cos como soma de exponenciais e integre cada termo separadamente na janela; cada resultado é uma sinc deslocada (centro em \pm\Omega).
  • Para esboçar espectros: localize os zeros (onde a sinc zera) e o centro dos lóbulos; lembre que largura do lóculo principal é inversamente proporcional à duração temporal \tau.
  • Lembre-se: truncamento no tempo → alargamento na frequência; periodicidade no tempo → linhas discretas no espectro.

Resposta

(a) \displaystyle G(\omega)=\frac{\sin(\omega\tau)}{\omega\tau}. Diagramas: |G(\omega)|=|\sin(\omega\tau)/(\omega\tau)| com zeros em \omega=n\pi/\tau. Para \tau=1 zeros em \pm\pi,\pm2\pi,\dots. Para \tau=1/2 zeros em \pm2\pi,\pm4\pi,\dots.
(b) Coeficientes da série complexa: c_{1}=1/2,\;c_{-1}=1/2,\;c_{n}=0 para n\neq\pm1. Espectro: duas linhas em \omega=\pm\Omega com amplitude 1/2.
(c) \displaystyle F(\omega)=\frac{\tau}{2}\!\left(\frac{\sin((\omega-\Omega)\tau/2)}{(\omega-\Omega)\tau/2}+\frac{\sin((\omega+\Omega)\tau/2)}{(\omega+\Omega)\tau/2}\right). Espectro: soma de duas sinc centradas em \omega=\pm\Omega.
(d) Princípio da incerteza: medindo \Delta t=\tau/\sqrt{3} e \Delta\omega\sim\pi/\tau obtém-se \Delta t\,\Delta\omega\sim\pi/\sqrt{3}\approx1{,}81>1/2, logo o princípio vale para o pulso retangular e sua transformada.
(e) Se \Omega/\pi\gg1/\tau: as duas sinc em \pm\Omega estão bem separadas (duas bandas distintas). Se \Omega/\pi\ll1/\tau: as duas sinc se sobrepõem fortemente e o espectro fica concentrado próximo a \omega=0 (envelope largo).

Exercícios relacionados