f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-\frac{1}{2}|x| & \text { se }-2<x<2 \\\\ 0 & \text { se } 2<x<6\end{array} \quad(p=8)\right.
Passo 1
O enunciado fornece a função periódica (com período indicado p=8\)):
\[f(x)=\begin{cases} 1-\tfrac{1}{2}|x| & \text{se }-2<x<2,\\[4pt] 0 & \text{se }2<x<6, \end{cases}\qquad (p=8).
As informações relevantes que eu extraio do enunciado são:
A função é dada num intervalo de comprimento 8\] (de \(-2 a 6) e o enunciado explicitou o período p=8.
Dentro de um período, f(x)=1-\tfrac{1}{2}|x| para -2<x<2 e f(x)=0 para 2<x<6.
A tarefa implícita (já que foi dado p=8) é determinar a série de Fourier da função periódica de período p=8 — isto é, encontrar os coeficientes e escrever a expansão em cossenos e senos para todos os x.]
Passo 2
Por que usar a fórmula padrão da série de Fourier em intervalo simétrico?
Para período p conveniente é comum tomar L=\tfrac{p}{2}. Aqui p=8 então L=4. A fórmula padrão para a série de Fourier numa função de período 2L é
Aqui L=4. Vou usar essas fórmulas. Observação importante (ajuda a simplificar): a função dada é par dentro do intervalo central porque depende de |x| quando não nula, então f(x) é uma função par sobre o período. Logo todos os b_n serão 0 (porque o integrando f(x)\sin(\cdot) é função ímpar no intervalo simétrico).
Passo 3
Calcular a_0.
Defino L=4. Então
a_0=\frac{1}{4}\int_{-4}^{4} f(x)\,dx.
Mas f(x)=0 para |x|>2 no período, então a integral reduz a [-2,2]. Além disso f é par, então
No desenvolvimento da série aparecerá o termo constante \tfrac{a_0}{2}=\tfrac{1}{4}.
Passo 4
Verificação de b_n.
Como eu comentei, f(x) é função par (depende de |x| quando não nula) e \sin(\tfrac{n\pi x}{L}) é ímpar, o produto é ímpar. Integrando uma função ímpar em [-L,L] obtemos zero. Assim, para todo n\ge 1,
Para \displaystyle \int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx uso integração por partes: tomo u=x, dv=\cos(\alpha x)\,dx. Então du=dx, v=\tfrac{1}{\alpha}\sin(\alpha x). Assim