Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Assim, calcule o traço de cada uma das seguintes matrizes:
b) \mathrm{B}=\left(b_{i j}\right)_{4 \times 4} em que b_{i j}=2 \cdot i+j^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada \mathrm{B} de ordem 4 (ou seja, 4\times4) cujos elementos são
b_{ij}=2\cdot i + j^{2},
para i,j=1,2,3,4. A pergunta é: calcular o traço dessa matriz, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Definição útil: o traço de uma matriz quadrada \mathrm{B} de ordem 4 é
\operatorname{tr}(\mathrm{B})=\sum_{i=1}^{4} b_{ii},
ou seja, soma dos elementos em que o índice da linha é igual ao índice da coluna. Aqui, para esses termos diagonais temos j=i, então
b_{ii}=2\cdot i + i^{2}.
Portanto
\operatorname{tr}(\mathrm{B})=\sum_{i=1}^{4}\bigl(2i + i^{2}\bigr).

Passo 3

Uma técnica prática: separar a soma em duas somas mais simples,
\sum_{i=1}^{4}\bigl(2i + i^{2}\bigr)=2\sum_{i=1}^{4}i + \sum_{i=1}^{4}i^{2}.
Vou usar as fórmulas padrão para essas somas:
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
onde n é o número de termos (aqui n=4). Essas fórmulas são muito úteis na prova; a primeira pode ser lembrada pelo emparelhamento 1+n,2+(n-1),\dots e a segunda é uma identidade padrão (pode ser memorizada).

Passo 4

Aplicando as fórmulas com n=4:
\sum_{i=1}^{4} i = \frac{4\cdot(4+1)}{2}=\frac{4\cdot 5}{2}= \frac{20}{2}=10,
\sum_{i=1}^{4} i^{2} = \frac{4\cdot(4+1)\cdot(2\cdot 4+1)}{6}=\frac{4\cdot 5\cdot 9}{6}=\frac{180}{6}=30.

Passo 5

Agora volto à expressão do traço:
\operatorname{tr}(\mathrm{B})=2\sum_{i=1}^{4}i + \sum_{i=1}^{4}i^{2}=2\cdot 10 + 30 = 20 + 30 = 50.
Para confirmar e ajudar na prova sem decorar fórmulas, também posso calcular diretamente os elementos da diagonal e somá-los:
b_{11}=2\cdot 1 + 1^{2}=2+1=3,
b_{22}=2\cdot 2 + 2^{2}=4+4=8,
b_{33}=2\cdot 3 + 3^{2}=6+9=15,
b_{44}=2\cdot 4 + 4^{2}=8+16=24,
e somando 3+8+15+24=50, que coincide com o resultado anterior.

Resposta

50

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