Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Assim, calcule o traço de cada uma das seguintes matrizes:
b)
em que
b)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
(ou seja,
) cujos elementos são
para
. A pergunta é: calcular o traço dessa matriz, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal.
Passo 2
Definição útil: o traço de uma matriz quadrada
de ordem
é
ou seja, soma dos elementos em que o índice da linha é igual ao índice da coluna. Aqui, para esses termos diagonais temos
, então
Portanto
Passo 3
Uma técnica prática: separar a soma em duas somas mais simples,
Vou usar as fórmulas padrão para essas somas:
onde
é o número de termos (aqui
). Essas fórmulas são muito úteis na prova; a primeira pode ser lembrada pelo emparelhamento
e a segunda é uma identidade padrão (pode ser memorizada).
Passo 4
Aplicando as fórmulas com
:
Passo 5
Agora volto à expressão do traço:
Para confirmar e ajudar na prova sem decorar fórmulas, também posso calcular diretamente os elementos da diagonal e somá-los:
e somando
, que coincide com o resultado anterior.