As chamadas de emergência chegam a uma delegacia de polícia a razão de 4 por hora no período de 1 às 6 da manhã em dias úteis, e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson.
a) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?
b) Qual a probabilidade de ao menos 2 chamadas no mesmo período?
a) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?
b) Qual a probabilidade de ao menos 2 chamadas no mesmo período?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Taxa média de chamadas de emergência:
por hora, no período considerado. - O processo de chegadas pode ser aproximado por uma distribuição de Poisson.
- Período de interesse:
minutos, ou seja, hora.
Perguntas:
- Qual a probabilidade de nenhuma chamada no período de
minutos? - Qual a probabilidade de ocorrer ao menos
chamadas no mesmo período?
Passo 2
Conceito útil (aula rápida e prática): distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo quando os eventos são raros, independentes e com taxa média constante.
- A função de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é o número de chamadas no intervalo, -
é um número inteiro não negativo ( ), -
é o valor esperado (média) de no intervalo considerado, -
é a base dos logaritmos naturais ( ), -
é o fatorial de (por exemplo, , , ).
Passo 3
Calcular o parâmetro
para o intervalo de
minutos.
- A taxa é
chamadas por hora. - Intervalo considerado é
hora. - Então
Portanto, no período de
minutos,
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de nenhuma chamada (
).
- Usando a fórmula da Poisson com
e :
- Sabendo que
e , temos
- Valor numérico aproximado:
Arredondando de forma prática para a prova,
.
Passo 5
Calcular a probabilidade de ao menos
chamadas, isto é
.
- Uma maneira eficiente é usar o complemento:
- Já temos
. - Calcular
usando a fórmula da Poisson ( ):
- Somando:
- Portanto:
Passo 6
Cálculo numérico final para
.
- Usando
,
- Assim
Arredondando para quatro casas decimais:
.
Resposta
(a)
(b)
(b)