As chamadas de emergência chegam a uma delegacia de polícia a razão de 4 por hora no período de 1 às 6 da manhã em dias úteis, e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson.
a) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?
b) Qual a probabilidade de ao menos 2 chamadas no mesmo período?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Taxa média de chamadas de emergência: \;4 por hora, no período considerado.
  • O processo de chegadas pode ser aproximado por uma distribuição de Poisson.
  • Período de interesse: 30 minutos, ou seja, \;0{,}5 hora.
Perguntas:
  1. Qual a probabilidade de nenhuma chamada no período de 30 minutos?
  2. Qual a probabilidade de ocorrer ao menos 2 chamadas no mesmo período?

Passo 2

Conceito útil (aula rápida e prática): distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo quando os eventos são raros, independentes e com taxa média constante.
  • A função de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
onde:
  • \;X é o número de chamadas no intervalo,
  • \;k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots),
  • \;\lambda é o valor esperado (média) de X no intervalo considerado,
  • \;e é a base dos logaritmos naturais ( \approx 2{,}71828),
  • \;k! é o fatorial de k (por exemplo, 0!=1, 1!=1, 2!=2).

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para o intervalo de 30 minutos.
  • A taxa é \;4 chamadas por hora.
  • Intervalo considerado é \;0{,}5 hora.
  • Então
\lambda = \text{(taxa)} \times \text{(duração)} = 4 \times 0{,}5 = 2.çã
Portanto, no período de 30 minutos, \lambda = 2.

Passo 4

Calcular a probabilidade de nenhuma chamada ( k=0).
  • Usando a fórmula da Poisson com k=0 e \lambda=2:
P(X=0)=\frac{2^{0} e^{-2}}{0!}.
  • Sabendo que 2^{0}=1 e 0!=1, temos
P(X=0)=e^{-2}.
  • Valor numérico aproximado:
e^{-2}\approx 0{,}135335\ldots
Arredondando de forma prática para a prova, \;P(X=0)\approx 0{,}1353.

Passo 5

Calcular a probabilidade de ao menos 2 chamadas, isto é P(X\ge 2).
  • Uma maneira eficiente é usar o complemento:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-[P(X=0)+P(X=1)].
  • Já temos P(X=0)=e^{-2}.
  • Calcular P(X=1) usando a fórmula da Poisson ( k=1):
P(X=1)=\frac{2^{1} e^{-2}}{1!}=2e^{-2}.
  • Somando:
P(X=0)+P(X=1)=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}.
  • Portanto:
P(X\ge 2)=1-3e^{-2}.

Passo 6

Cálculo numérico final para P(X\ge 2).
  • Usando e^{-2}\approx 0{,}135335\ldots,
3e^{-2}\approx 3\times 0{,}135335\ldots \approx 0{,}406006\ldots
  • Assim
P(X\ge 2)\approx 1-0{,}406006\ldots \approx 0{,}593994\ldots
Arredondando para quatro casas decimais: \;P(X\ge 2)\approx 0{,}5940.

Resposta

(a) \;P(X=0)=e^{-2}\approx 0{,}1353
(b) \;P(X\ge 2)=1-3e^{-2}\approx 0{,}5940

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