Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de
navios/hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo durante um período de 30 minutos (
), determine a probabilidade de :
Não chegar nenhum navio
Não chegar nenhum navio
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Taxa de chegada dos navios:
navios/hora. - O processo de chegadas é aproximado por um processo de Poisson.
- Período observado:
hora (30 minutos). - Pergunta: qual a probabilidade de não chegar nenhum navio durante esse período?
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples): em um processo de Poisson com taxa
por unidade de tempo, o número de chegadas
em um intervalo de duração
segue a distribuição de Poisson com parâmetro (média)
. A fórmula da função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson é:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente chegadas no intervalo de comprimento ; -
é a taxa média de chegadas por unidade de tempo (aqui navios/hora); -
é a duração do intervalo observado (em horas); -
é o fatorial de (por exemplo, ).
Breve intuição (sem formalidade pesada): o parâmetro
representa a média (esperança) do número de chegadas no intervalo. Em prova, quase sempre você precisa primeiro multiplicar a taxa
pelo tempo
para obter esse parâmetro.
Passo 3
Queremos a probabilidade de não chegar nenhum navio, ou seja
. Substituindo
na fórmula da Poisson:
Agora use propriedades simples: qualquer número à potência zero vale
e
. Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Calcule o parâmetro
com os valores do enunciado:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Agora um valor numérico prático:
é aproximadamente
. Arredondando para quatro casas decimais fica
.
Dica de prova: escreva a resposta exata e, se solicitado, o valor aproximado
.
Dica de prova: escreva a resposta exata