Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de lambda=2 navios/hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo durante um período de 30 minutos ( \mathrm{t}=1 / 2 ), determine a probabilidade de :
Não chegar nenhum navio

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Taxa de chegada dos navios: \lambda=2 navios/hora.
  • O processo de chegadas é aproximado por um processo de Poisson.
  • Período observado: t=\tfrac{1}{2} hora (30 minutos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de não chegar nenhum navio durante esse período?

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples): em um processo de Poisson com taxa \lambda por unidade de tempo, o número de chegadas N(t) em um intervalo de duração t segue a distribuição de Poisson com parâmetro (média) \lambda t. A fórmula da função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson é:
\Pr\bigl(N(t)=k\bigr)=\frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!},
onde:
  • \Pr\bigl(N(t)=k\bigr) é a probabilidade de ocorrer exatamente k chegadas no intervalo de comprimento t;
  • \lambda é a taxa média de chegadas por unidade de tempo (aqui navios/hora);
  • t é a duração do intervalo observado (em horas);
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 0! = 1).
Breve intuição (sem formalidade pesada): o parâmetro \lambda t representa a média (esperança) do número de chegadas no intervalo. Em prova, quase sempre você precisa primeiro multiplicar a taxa \lambda pelo tempo t para obter esse parâmetro.

Passo 3

Queremos a probabilidade de não chegar nenhum navio, ou seja k=0. Substituindo k=0 na fórmula da Poisson:
\Pr\bigl(N(t)=0\bigr)=\frac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!}.
Agora use propriedades simples: qualquer número à potência zero vale 1 e 0!=1. Portanto a expressão simplifica para
\Pr\bigl(N(t)=0\bigr)=e^{-\lambda t}.

Passo 4

Calcule o parâmetro \lambda t com os valores do enunciado:
\lambda t = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1.
Substituindo em \Pr\bigl(N(t)=0\bigr)=e^{-\lambda t} obtemos
\Pr\bigl(N(t)=0\bigr)=e^{-1}.

Passo 5

Agora um valor numérico prático: e^{-1} é aproximadamente 0{,}367879. Arredondando para quatro casas decimais fica 0{,}3679.
Dica de prova: escreva a resposta exata e^{-1} e, se solicitado, o valor aproximado 0{,}3679.

Resposta

e^{-1}\approx 0{,}3679

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