Suponhamos que os defeitos em uma bobina de papel possam ser aproximados por um processo de Poisson com média de 0,3 defeitos por metro (\lambda=0,3). Inspecionando-se um trecho de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de menos de 2 (isto é, 0 ou 1 ) defeitos serem encontrados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara:
  • Dado: taxa média de defeitos por metro é \lambda=0,3 (isto é, em cada metro esperamos, em média, 0,3 defeitos).
  • Observação: vamos inspecionar um trecho de 6 metros de comprimento.
  • Pedido: determinar a probabilidade de ocorrerem menos de 2 defeitos nesse trecho, ou seja, a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 defeito.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, devagarinho):
  • Quando eventos raros ocorrem independentemente ao longo de um comprimento (ou tempo) e com taxa média constante, modelamos o número de eventos por um processo de Poisson.
  • Se X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda (média), a probabilidade de exatamente k ocorrências é dada por:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
  • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado,
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 1!=1, 0!=1).

Passo 3

Ajuste do parâmetro \lambda para o trecho de 6 metros:
  • A taxa dada é \lambda_{\text{por metro}}=0,3.
  • Para 6 metros, a média total é o produto da taxa pelo comprimento:
\lambda_{6} = 0,3 \times 6 = 1,8.
Ou seja, no trecho de 6 metros esperamos, em média, \lambda_{6}=1,8 defeitos.

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida em termos da distribuição de Poisson:
  • Precisamos de P(X<2) quando X\sim Poisson (\lambda_{6}=1,8).
  • Como X só assume valores inteiros não-negativos, P(X<2)=P(X=0)+P(X=1).
  • Usando a fórmula de Poisson:
P(X=0)=e^{-1,8}\frac{1,8^{0}}{0!}=e^{-1,8},
P(X=1)=e^{-1,8}\frac{1,8^{1}}{1!}=e^{-1,8}\cdot 1,8.

Passo 5

Calcular P(X=0) numericamente (passo a passo):
  • Temos P(X=0)=e^{-1,8}.
  • Para uma aproximação prática, podemos separar e^{-1,8}=e^{-1}\cdot e^{-0,8}.
  • Valores conhecidos/úteis: e^{-1}\approx 0,367879 e e^{-0,8}\approx 0,449329.
  • Multiplicando:
e^{-1,8}\approx 0,367879\times 0,449329 \approx 0,165299.
Logo P(X=0)\approx 0,165299.

Passo 6

Calcular P(X=1) numericamente:
  • Temos P(X=1)=e^{-1,8}\cdot 1,8.
  • Usando o valor de e^{-1,8} calculado:
P(X=1)\approx 0,165299\times 1,8 \approx 0,297539.

Passo 7

Somar as probabilidades para obter o resultado final:
  • P(X<2)=P(X=0)+P(X=1).
  • Substituindo os valores aproximados:
P(X<2)\approx 0,165299+0,297539=0,462838.
  • Em forma exata simples fica:
P(X<2)=e^{-1,8}\big(1+1,8\big)=e^{-1,8}\cdot 2,8.
  • Interpretação rápida e incentivo: isso significa que há cerca de 46{,}28\% de chance de encontrarmos zero ou um defeito no trecho de 6 metros — não tão raro, então vale inspecionar com atenção. Você conseguiu! 😉

Resposta

P(X<2)=e^{-1,8}\cdot 2,8\approx 0,4628

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