Suponhamos que os defeitos em uma bobina de papel possam ser aproximados por um processo de Poisson com média de 0,3 defeitos por metro
. Inspecionando-se um trecho de 6 metros de comprimento, determine a probabilidade de menos de 2 (isto é, 0 ou 1 ) defeitos serem encontrados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara:
- Dado: taxa média de defeitos por metro é
(isto é, em cada metro esperamos, em média, defeitos). - Observação: vamos inspecionar um trecho de
metros de comprimento. - Pedido: determinar a probabilidade de ocorrerem menos de
defeitos nesse trecho, ou seja, a probabilidade de ocorrer ou defeito.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, devagarinho):
- Quando eventos raros ocorrem independentemente ao longo de um comprimento (ou tempo) e com taxa média constante, modelamos o número de eventos por um processo de Poisson.
- Se
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro (média), a probabilidade de exatamente ocorrências é dada por:
Aqui:
-
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ), -
é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado, -
é o fatorial de (por exemplo, , ).
Passo 3
Ajuste do parâmetro
para o trecho de
metros:
- A taxa dada é
. - Para
metros, a média total é o produto da taxa pelo comprimento:
Ou seja, no trecho de
metros esperamos, em média,
defeitos.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida em termos da distribuição de Poisson:
- Precisamos de
quando Poisson . - Como
só assume valores inteiros não-negativos, . - Usando a fórmula de Poisson:
Passo 5
Calcular
numericamente (passo a passo):
- Temos
. - Para uma aproximação prática, podemos separar
. - Valores conhecidos/úteis:
e . - Multiplicando:
Logo
.
Passo 6
Calcular
numericamente:
- Temos
. - Usando o valor de
calculado:
Passo 7
Somar as probabilidades para obter o resultado final:
-
. - Substituindo os valores aproximados:
- Em forma exata simples fica:
- Interpretação rápida e incentivo: isso significa que há cerca de
de chance de encontrarmos zero ou um defeito no trecho de metros — não tão raro, então vale inspecionar com atenção. Você conseguiu! 😉