Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de lambda=2 navios/hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo durante um período de 30 minutos ( \mathrm{t}=1 / 2 ), determine a probabilidade de :
Chegarem 3 navios.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Taxa de chegada: \lambda=2 navios/hora.
  • Intervalo observado: t=1/2 hora (30 minutos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de chegarem exatamente 3 navios durante esse período?

Passo 2

Quando as chegadas seguem um processo de Poisson com taxa constante \lambda, o número de chegadas N em um intervalo de duração t tem distribuição de Poisson com parâmetro
\mu=\lambda t.
A função de massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é
P(N=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde:
  • k é o número de ocorrências (aqui queremos k=3);
  • \mu é a média (valor esperado) do número de ocorrências no intervalo;
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 3!=3\cdot2\cdot1).

Passo 3

Calculo o parâmetro \mu para o intervalo de t=1/2 hora:
\mu=\lambda t=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Interpretação: em média espera-se 1 navio em 30 minutos.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da Poisson para k=3 e \mu=1:
P(N=3)=e^{-1}\frac{1^{3}}{3!}.

Passo 5

Calculo 3! e simplifico:
3!=6,
logo
P(N=3)=\frac{e^{-1}}{6}.
Para ter uma noção numérica, e^{-1}\approx0,367879, então
P(N=3)\approx\frac{0,367879}{6}\approx0,061313.

Passo 6

Comentário intuitivo: como a média esperada em 30 minutos é 1 navio, ter 3 navios é acima da média e, por isso, tem probabilidade relativamente baixa (cerca de 6{,}13\%). Força aí — esse tipo de conta cai muito em prova e é só aplicar a pmf da Poisson!

Resposta

\displaystyle P(N=3)=\frac{e^{-1}}{6}\approx0,061313

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