As chamadas funções hiperbólicas são definidas de forma similar às funções trigonométricas, mas utilizando arcos de hipérbole ao invés de arcos de circunferência (como ocorre no caso das funções trigonométricas). Usualmente, se escreve as expressões para funções hiperbólicas em termos da função exponencial. Para seno hiperbólico e cosseno hiperbólico temos, respectivamente, as seguintes expressões:
(a) Calcule
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que cosh é par e sinh é ímpar.
(d) Esboce o gráfico de cosh, para isso encontre o valor desta função em vários pontos distintos e analise o que acontece quando
cresce muito e quando
vai ficando cada vez mais negativo.
(b) Mostre que
(c) Mostre que cosh é par e sinh é ímpar.
(d) Esboce o gráfico de cosh, para isso encontre o valor desta função em vários pontos distintos e analise o que acontece quando
Passo 1
O enunciado trata das funções hiperbólicas definidas por
O conteúdo é manipulação de exponenciais para calcular valores, provar identidade de Pitágoras hiperbólica, mostrar paridade e ímparidade, e esboçar o gráfico de
.
Passo 2
Para a parte (a) aplicamos diretamente as definições:
Logo,
Passo 3
Para a parte (b) computamos
Expandindo,
Passo 4
Para a parte (c) observamos:
Logo
é função par e
é ímpar.
Passo 5
Para a parte (d) esboçamos
. Alguns pontos-chave:
Como
,
e
; por simetria, quando
também
. O gráfico é simétrico em torno do eixo
, tem mínimo em
e cresce exponencialmente para
grande, formando uma curva em “U”.
Resposta
(a)
,
,
,
,
.
(b) .
(c) é par e
é ímpar.
(d) Gráfico de : curva em “U”, mínima em
, cresce como
quando
.
(b)
(c)
(d) Gráfico de