As chamadas funções hiperbólicas são definidas de forma similar às funções trigonométricas, mas utilizando arcos de hipérbole ao invés de arcos de circunferência (como ocorre no caso das funções trigonométricas). Usualmente, se escreve as expressões para funções hiperbólicas em termos da função exponencial. Para seno hiperbólico e cosseno hiperbólico temos, respectivamente, as seguintes expressões:
senh x=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2
(a) Calcule cosh (0), senh(1), senh(2), senh(-2), cosh (-2)
(b) Mostre que cosh ^2 x-senh^2 x=1.
(c) Mostre que cosh é par e sinh é ímpar.
(d) Esboce o gráfico de cosh, para isso encontre o valor desta função em vários pontos distintos e analise o que acontece quando x cresce muito e quando x vai ficando cada vez mais negativo.

Passo 1

O enunciado trata das funções hiperbólicas definidas por
senhx = e^x - e^-x2, cosh x = e^x + e^-x2
O conteúdo é manipulação de exponenciais para calcular valores, provar identidade de Pitágoras hiperbólica, mostrar paridade e ímparidade, e esboçar o gráfico de cosh x.

Passo 2

Para a parte (a) aplicamos diretamente as definições:
cosh x = e^x + e^-x2, senhx = e^x - e^-x2
Logo,
cosh(0) = e^0 + e^-02 = 1 + 12 = 1,
senh(1) = e^1 - e^-12 = e - tfrac1e2 approx 1,175,
senh(2) = e^2 - e^-22 approx 7,389 - 0,13532 approx 3,627,
senh(-2) = -,senh(2) approx -3,627,
cosh(-2) = cosh(2) = e^2 + e^-22 approx 7,389 + 0,13532 approx 3,762

Passo 3

Para a parte (b) computamos
cosh^2 x - senh^2 x = l(e^x + e^-x2r)^2 - l(e^x - e^-x2r)^2
Expandindo,
= e^2x + 2 + e^-2x - l(e^2x - 2 + e^-2xr)4 = 44 = 1

Passo 4

Para a parte (c) observamos:
cosh(-x) = e^-x + e^x2 = e^x + e^-x2 = cosh x,
senh(-x) = e^-x - e^x2 = -,e^x - e^-x2 = -,senhx
Logo cosh é função par e senh é ímpar.

Passo 5

Para a parte (d) esboçamos cosh x. Alguns pontos-chave:
cosh(0)=1, cosh(1)=e+e^-12approx1,543, cosh(2)approx3,762, cosh(3)approx10,067
Como xto+infty, e^-xto0 e cosh xapprox e^x/2to+infty; por simetria, quando xto-infty também cosh xto+infty. O gráfico é simétrico em torno do eixo y, tem mínimo em (0,1) e cresce exponencialmente para |x| grande, formando uma curva em “U”.

Resposta

(a) cosh(0)=1, senh(1)=tfrace-e^-12approx1,175, senh(2)=tfrace^2-e^-22approx3,627, senh(-2)=-3,627, cosh(-2)=3,762.
(b) cosh^2 x - senh^2 x =1.
(c) cosh é par e senh é ímpar.
(d) Gráfico de cosh x: curva em “U”, mínima em (0,1), cresce como e^|x|/2 quando |x|toinfty.

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