Suponha que você esteja dirigindo o seu carro em um dia muito frio (temperatura ambiente de 5^circ C ) e o motor do seu carro superaqueceu (chegou a 105^circ C ). Você estaciona e espera o motor esfriar. A equação que governa a temperatura T(em^circ C) do motor após t minutos parados é dada por
ln (T-5100)=-0,11 t
(a) Determine T(t) (isto é, escreva T em função de t ).
(b) Determine a temperatura do motor após 20 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um resfriamento segundo a lei de Newton, com temperatura ambiente 5^circC e temperatura inicial do motor T(0)=105^circC. A equação fornecida é
lnl(T-5100r) = -0,11,t,
onde T é a temperatura do motor em função de t (minutos). Vamos (a) isolar T e (b) calcular T(20).

Passo 2

Para isolar T, aplicamos exponenciação em ambos os lados. De
lnl(tfracT-5100r) = -0,11,t
segue
T-5100 = e^-0,11,t,
portanto
T-5 = 100,e^-0,11,t Longrightarrow T(t) = 5 + 100,e^-0,11,t

Passo 3

Agora, para t=20 minutos, substituímos em
T(t) = 5 + 100,e^-0,11,t,:
T(20) = 5 + 100,e^-0,11cdot20 = 5 + 100,e^-2,2
Como e^-2,2approx0,1108, resulta
T(20)approx5 + 100cdot0,1108 = 5 + 11,08 = 16,08^circC

Resposta

(a) T(t) = 5 + 100,e^-0,11,t
(b) T(20)approx16,08^circC

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