Determine o conjunto solução das equações e das inequações abaixo:
(a) 2^x=64 ;
(c) 3^x=19;
(e) 3^x=-9;
(g) 3^x^2-4 x+8=81;
(b) 4^x=32;
(d) 7^x=1;
(f) 2^x-1=16;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto-solução de várias equações exponenciais do tipo a^f(x)=b. O conteúdo aqui é a propriedade de injeção da função exponencial (para base positiva diferente de 1) e o domínio/imagem da exponencial (ela só assume valores positivos).

Passo 2

Lembramos que, se a>0 e aneq1, então
a^u=a^vLongrightarrow u=v
Além disso, a^x>0 para todo x, logo não há solução quando o segundo membro é não positivo.

Passo 3

Para a) 2^x=64. Escrevemos 64=2^6. Como a base é a mesma,
x=6

Passo 4

Para b) 4^x=32. Reescrevendo com base 2:
4=2^2, 32=2^5 Longrightarrow (2^2)^x=2^5 Longrightarrow 2^2x=2^5 Longrightarrow 2x=5 Longrightarrow x=tfrac52

Passo 5

Para c) 3^x=tfrac19. Como tfrac19=3^-2, temos
x=-2

Passo 6

Para d) 7^x=1. Como 7^0=1 e a exponencial não se anula em outro ponto,
x=0

Passo 7

Para e) 3^x=-9. A função 3^x só assume valores positivos, então não há x tal que 3^x=-9. Logo, o conjunto-solução é vazio.

Passo 8

Para f) 2^,x-1=16. Note que 16=2^4, então
x-1=4 Longrightarrow x=5

Passo 9

Para g) 3^,x^2-4x+8=81. Como 81=3^4, igualamos expoentes:
x^2-4x+8=4 Longrightarrow x^2-4x+4=0 Longrightarrow (x-2)^2=0 Longrightarrow x=2

Resposta

(a) 6
(b) tfrac52
(c) -2
(d) 0
(e) varnothing
(f) 5
(g) 2

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