Simplifique as expressões abaixo utilizando as propriedades dos logaritmos.
(a) log 2 15-log 2 7
(e) log x+log y-12 log z
(b) log 9+log 7-log 2
(f) ln (x^2-1)-ln (x+1)
(c) 2 log 3 5-log 3 2
(g) log (x+y)+2 log (x-y)-4 log z
(d) log 6+13 log 7-2 log 2
(h) 2(log 2 2 x+log 2 3 y+log 2 4 z)

Passo 1

O objetivo é usar as propriedades dos logaritmos—produto, quociente e potência—para escrever cada expressão como um único logaritmo. Vamos aplicar, conforme o caso:
  • loga M + loga N = loga(MN)
  • loga M - loga N = logaMN
  • k,loga M = loga(M^k)

Passo 2

Para (a): log215 - log27 usamos a propriedade do quociente:
log215 - log27 = log2!gl(157gr)

Passo 3

Para (b): log 9 + log 7 - log 2 combinamos soma e diferença:
log 9 + log 7 = log(9cdot7)=log63, log63 - log2 = log!l(tfrac632r)

Passo 4

Para (c): 2log35 - log32 elevamos e subtraímos:
2log35 = log3(5^2)=log325, log325 - log32 = log3!l(tfrac252r)

Passo 5

Para (d): log 6 + tfrac13log 7 - 2log 2 usamos potência e quociente:
tfrac13log7 = log(7^1/3), 2log2 = log(2^2)=log4,
log6 + log(7^1/3) = logl(6,7^1/3r), logl(6,7^1/3r)-log4 = log!l(6raiz[3]74r) = log!l(3raiz[3]72r)

Passo 6

Para (e): log x + log y - tfrac12log z aplicamos produto e potência:
log x + log y = log(xy), tfrac12log z = log(z^1/2),
log(xy)-log(z^1/2) = log!l(xyraizzr)

Passo 7

Para (f): ln(x^2-1)-ln(x+1) é quociente no ln:
ln(x^2-1)-ln(x+1) = ln!l(x^2-1x+1r)
Como x^2-1=(x-1)(x+1), isso simplifica para
ln(x-1)

Passo 8

Para (g): log(x+y)+2log(x-y)-4log z:
2log(x-y)=logl((x-y)^2r), 4log z=log(z^4),
log(x+y)+logl((x-y)^2r)-log(z^4) =log!l((x+y)(x-y)^2z^4r)

Passo 9

Para (h): 2l(log2(2x)+log2(3y)+log2(4z)r). Primeiro soma interna:
log2(2x)+log2(3y)+log2(4z) =log2(2xcdot3ycdot4z) =log2(24,xyz)
Multiplicando por 2:
2log2(24,xyz)=log2l((24,xyz)^2r) =log2l(576,x^2y^2z^2r)

Resposta

(a) log2!l(tfrac157r)
(b) log!l(tfrac632r)
(c) log3!l(tfrac252r)
(d) log!l(tfrac3raiz[3]72r)
(e) log!l(tfracxyraizzr)
(f) ln(x-1)
(g) log!l(tfrac(x+y)(x-y)^2z^4r)
(h) log2l(576,x^2y^2z^2r)

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