O chamado processo de Poisson em uma região R subset R^2 limitada pode ser construída da seguinte maneira.
  • primeiro sorteamos o total N de pontos a serem distribuídos em R, onde N será uma variável de Poisson de parâmetro lambda>0;
  • se N=n distribuímos n pontos independentes e com distribuição uniforme em R.
    O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em R.
    Dada agora uma região A subseteq R, denote por M o total de pontos do processo que estão dentro de A. Defina então p= área (A)/área (R), e faça o que se pede.
    Determine a distribuição condicional de M dado N=n.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: a gente tem um processo de Poisson numa região R do plano. Primeiro sai um N ∼ Poisson(λ), depois a gente joga N pontos de forma independente e uniformemente em R. Daí, num sub‐conjunto A⊆R, a gente conta quantos pontos caíram lá dentro e chama isso de M. Eles definem p = área(A)/área® e querem saber qual é a distribuição de M, dado que N = n.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, variáveis de Bernoulli e a distribuição Binomial. Vamos precisar saber que somar Bernoullis independentes gera uma Binomial e usar combinatória básica.

Passo 2

Quando sabemos que N = n, já temos exatamente n pontos, cada um espalhado uniformemente em R. Como a distribuição é uniforme e cada ponto é independente, a chance de qualquer ponto cair em A é
p ;=;área(A)área(R) áá
Isso equivale a dizer: para cada ponto i = 1,2,…,n, podemos definir uma variável de Bernoulli
Xi = 1, & se o ponto i caiu em A, 0, & caso contrário, á
com P(X_i=1)=p e P(X_i=0)=1−p, e todos os X_i são independentes.

Passo 3

Agora, M é exatamente a soma desses indicadores:
M ;=; X1 + X2 + cdots + Xn
E a soma de n Bernoullis independentes de parâmetro p é uma variável aleatória com distribuição Binomial(n,p). Portanto, para k=0,1,2,…,n, a probabilidade é
P(M = k mid N = n) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Resposta

P(M = k \mid N = n) = \displaystyle \binom{n}{k},p{k},(1-p){,n-k}, ou seja,
M | N=n ∼ Binomial(n, p).

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