O chamado processo de Poisson em uma região
limitada pode ser construída da seguinte maneira.
- primeiro sorteamos o total
de pontos a serem distribuídos em
, onde
será uma variável de Poisson de parâmetro
;
- se
distribuímos
pontos independentes e com distribuição uniforme em
.
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
.
Dada agora uma região
, denote por
o total de pontos do processo que estão dentro de
. Defina então
área
área
, e faça o que se pede.
Determine a distribuição condicional de
dado
.
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
Dada agora uma região
Determine a distribuição condicional de
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: a gente tem um processo de Poisson numa região R do plano. Primeiro sai um N ∼ Poisson(λ), depois a gente joga N pontos de forma independente e uniformemente em R. Daí, num sub‐conjunto A⊆R, a gente conta quantos pontos caíram lá dentro e chama isso de M. Eles definem p = área(A)/área® e querem saber qual é a distribuição de M, dado que N = n.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, variáveis de Bernoulli e a distribuição Binomial. Vamos precisar saber que somar Bernoullis independentes gera uma Binomial e usar combinatória básica.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, variáveis de Bernoulli e a distribuição Binomial. Vamos precisar saber que somar Bernoullis independentes gera uma Binomial e usar combinatória básica.
Passo 2
Quando sabemos que N = n, já temos exatamente n pontos, cada um espalhado uniformemente em R. Como a distribuição é uniforme e cada ponto é independente, a chance de qualquer ponto cair em A é
Isso equivale a dizer: para cada ponto i = 1,2,…,n, podemos definir uma variável de Bernoulli
com P(X_i=1)=p e P(X_i=0)=1−p, e todos os X_i são independentes.
Passo 3
Agora, M é exatamente a soma desses indicadores:
E a soma de n Bernoullis independentes de parâmetro p é uma variável aleatória com distribuição Binomial(n,p). Portanto, para k=0,1,2,…,n, a probabilidade é
Resposta
P(M = k \mid N = n) = \displaystyle \binom{n}{k},p{k},(1-p){,n-k}, ou seja,
M | N=n ∼ Binomial(n, p).
M | N=n ∼ Binomial(n, p).