O chamado processo de Poisson em uma região
limitada pode ser construída da seguinte maneira.
- primeiro sorteamos o total
de pontos a serem distribuídos em
, onde
será uma variável de Poisson de parâmetro
;
- se
distribuímos
pontos independentes e com distribuição uniforme em
.
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
.
Dada agora uma região
, denote por
o total de pontos do processo que estão dentro de
. Defina então
área
área
, e faça o que se pede.
Encontre a função de probabilidade conjunta de
e
.
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
Dada agora uma região
Encontre a função de probabilidade conjunta de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um processo de Poisson na região R com parâmetro λ>0. Isso significa que primeiro sorteamos N, que é Poisson(λ), e depois, dado N=n, jogamos n pontos uniformes em R. Agora, para uma sub-região A⊆R, M é o número de pontos que caem dentro de A. Definimos p = área(A)/área®. O que a gente quer é a função de probabilidade conjunta de (M,N).
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, distribuição de Poisson, distribuição binomial e probabilidade condicional. Vamos precisar usar:
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, distribuição de Poisson, distribuição binomial e probabilidade condicional. Vamos precisar usar:
- Fórmula da Poisson: P(N=n)=e{−λ}λn/n!.
- Condicional binomial: P(M=m|N=n)=C(n,m)pm(1−p){n−m}.
Passo 2
Primeiro passo da resolução de fato: escrever o princípio da probabilidade total/condicional. A gente sabe que
P(M=m, N=n) = P(M=m | N=n) · P(N=n).
P(M=m, N=n) = P(M=m | N=n) · P(N=n).
Passo 3
Agora lembrando da teoria:
- N é Poisson(λ), então
- Dado N=n, cada ponto cai em A com probabilidade p, de forma independente, logo M|N=n∼Binomial(n,p), e
Passo 4
Substituindo na fórmula de probabilidade conjunta:
Passo 5
Só falta simplificar ou deixar certinho: