O chamado processo de Poisson em uma região R subset R^2 limitada pode ser construída da seguinte maneira.
  • primeiro sorteamos o total N de pontos a serem distribuídos em R, onde N será uma variável de Poisson de parâmetro lambda>0;
  • se N=n distribuímos n pontos independentes e com distribuição uniforme em R.
    O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em R.
    Dada agora uma região A subseteq R, denote por M o total de pontos do processo que estão dentro de A. Defina então p= área (A)/área (R), e faça o que se pede.
    Encontre a função de probabilidade conjunta de M e N.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um processo de Poisson na região R com parâmetro λ>0. Isso significa que primeiro sorteamos N, que é Poisson(λ), e depois, dado N=n, jogamos n pontos uniformes em R. Agora, para uma sub-região A⊆R, M é o número de pontos que caem dentro de A. Definimos p = área(A)/área®. O que a gente quer é a função de probabilidade conjunta de (M,N).
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, distribuição de Poisson, distribuição binomial e probabilidade condicional. Vamos precisar usar:
  1. Fórmula da Poisson: P(N=n)=e{−λ}λn/n!.
  2. Condicional binomial: P(M=m|N=n)=C(n,m)pm(1−p){n−m}.

Passo 2

Primeiro passo da resolução de fato: escrever o princípio da probabilidade total/condicional. A gente sabe que
P(M=m, N=n) = P(M=m | N=n) · P(N=n).

Passo 3

Agora lembrando da teoria:
  • N é Poisson(λ), então
P(N=n)=e^-lambda,lambda^nn!, n=0,1,2,dots
  • Dado N=n, cada ponto cai em A com probabilidade p, de forma independente, logo M|N=n∼Binomial(n,p), e
P(M=mmid N=n)=binomnm,p^m,(1-p)^,n-m, m=0,1,dots,n

Passo 4

Substituindo na fórmula de probabilidade conjunta:
P(M=m, N=n) = underbracebinomnm,p^m,(1-p)^,n-mP(M=mmid N=n) ;times; underbracee^-lambda,lambda^nn!P(N=n)

Passo 5

Só falta simplificar ou deixar certinho:
P(M=m, N=n) = e^-lambda,lambda^nn! binomnm,p^m,(1-p)^,n-m, n=0,1,2,dots,; m=0,1,dots,n

Resposta

boxed P(M=m, N=n) ;=; e^-lambda,lambda^nn!,binomnm,p^m,(1-p)^,n-m, n>= m>=0

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