Uma companhia de seguros trabalha com a hipótese de que o total
de acidentes sofrido por um segurado ao longo de um ano segue uma distribuição de Poisson de parâmetro
, onde
é uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros
. Ou seja,
tem densidade
Determine a densidade condicional do parâmetro
dado que o segurado sofreu
acidentes ao longo de um ano.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem:
- Conteúdo: distribuição condicional via Teorema de Bayes; mistura de Poisson–Gama.
- Hipóteses:
- Dado
, o número de acidentes segue Poisson de parâmetro :
- A priori,
é Gama com parâmetros :
O que precisamos: a densidade a posteriori. Vamos usar o Teorema de Bayes e identificar a forma Gama no resultado.
- Dado
Passo 2
Escrevendo Bayes para densidades contínuas:
Onde o numerador é fácil de calcular:
Passo 3
Agora identificamos que, como função de
, isso é proporcional a
Ou seja, tem a forma de uma densidade Gama com novo parâmetro de forma
e taxa
.
Para achar o denominador (a constante de normalização), usamos o fato de que a densidade Gama de forma
e taxa
é
Para achar o denominador
logo a constante que falta é
.
Resposta
ou seja,
.