Uma companhia de seguros trabalha com a hipótese de que o total N de acidentes sofrido por um segurado ao longo de um ano segue uma distribuição de Poisson de parâmetro W, onde W é uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros k, beta. Ou seja, W tem densidade
f(w)=w^k-1 e^-beta w (beta)^k(k-1)!
Determine a densidade condicional do parâmetro W dado que o segurado sofreu n acidentes ao longo de um ano.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem:
  • Conteúdo: distribuição condicional via Teorema de Bayes; mistura de Poisson–Gama.
  • Hipóteses:
    1. Dado , o número de acidentes segue Poisson de parâmetro :
    2. A priori, é Gama com parâmetros :

      O que precisamos: a densidade a posteriori . Vamos usar o Teorema de Bayes e identificar a forma Gama no resultado.

Passo 2

Escrevendo Bayes para densidades contínuas:
fWmid N(wmid n) =fNmid W(nmid w),fW(w)fN(n)
Onde o numerador é fácil de calcular:
fNmid W(nmid w),fW(w) =w^n e^-wn!;cdot;beta^k(k-1)!,w^k-1e^-beta w =beta^k(k-1)!,n!;w^,n+k-1,e^-(beta+1)w

Passo 3

Agora identificamos que, como função de w^(n+k)-1,e^-(beta+1)w , isso é proporcional a
lambda^alpha(alpha-1)!;w^alpha-1e^-lambda w,
Ou seja, tem a forma de uma densidade Gama com novo parâmetro de forma e taxa .
Para achar o denominador (a constante de normalização), usamos o fato de que a densidade Gama de forma e taxa é
logo a constante que falta é
.

Resposta

boxed fWmid N(wmid n) =(beta+1)^,k+n(k+n-1)!;w^,k+n-1;e^-(beta+1)w, w>0,
ou seja, .

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