Uma companhia de seguros trabalha com a hipótese de que o total
de acidentes sofrido por um segurado ao longo de um ano segue uma distribuição de Poisson de parâmetro
, onde
é uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros
. Ou seja,
tem densidade
Determine a probabilidade de um segurado sofrer
acidentes em seu primeiro ano de seguro. Ou seja, calcule
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que um segurado tem um número de acidentes no ano,
, que dado um parâmetro
segue uma Poisson(
), e que esse
não é fixo: ele mesmo é aleatório e tem distribuição Gama de parâmetros
(forma) e
(taxa). Precisamos encontrar a probabilidade marginal
O conteúdo que vamos usar é:
- a fórmula da Poisson condicional,
- a densidade da Gama,
- como fazer essa integral usando a função Gama.
Passo 2
Escrevendo a definição da probabilidade marginal:
Aqui
Passo 3
Substituindo dentro da integral, fica
Agora juntamos termos semelhantes:
- os fatores constantes
podem sair da integral; -
; -
.
Então
Passo 4
A integral
é justamente a definição da função Gama, com parâmetro
e “taxa”
. Lembrando que
com
e
. Logo
Passo 5
Substituindo de volta em
:
Como
, fica
E esse quociente de fatoriais é o binomial “com repetição”
.