Uma companhia de seguros trabalha com a hipótese de que o total N de acidentes sofrido por um segurado ao longo de um ano segue uma distribuição de Poisson de parâmetro W, onde W é uma variável aleatória com distribuição Gama de parâmetros k, beta. Ou seja, W tem densidade
f(w)=w^k-1 e^-beta w (beta)^k(k-1)!
Determine a probabilidade de um segurado sofrer n acidentes em seu primeiro ano de seguro. Ou seja, calcule P(N=n).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um segurado tem um número de acidentes no ano, P(N=n);=;integral0^infty P(N=nmid W=w),fW(w),dw , que dado um parâmetro segue uma Poisson( ), e que esse não é fixo: ele mesmo é aleatório e tem distribuição Gama de parâmetros (forma) e (taxa). Precisamos encontrar a probabilidade marginal
O conteúdo que vamos usar é:
  1. a fórmula da Poisson condicional,
  2. a densidade da Gama,
  3. como fazer essa integral usando a função Gama.

Passo 2

Escrevendo a definição da probabilidade marginal:
P(N=n);=;integral0^inftyP(N=nmid W=w);fW(w);dw
Aqui
P(N=nmid W=w) =e^-w,w^nn! e fW(w) =beta^k(k-1)!;w^k-1e^-beta w

Passo 3

Substituindo dentro da integral, fica
P(N=n) =integral0^infty e^-w,w^nn! ;times; beta^k(k-1)!,w^k-1e^-beta w ;dw
Agora juntamos termos semelhantes:
  • os fatores constantes P(N=n) =beta^kn!,(k-1)! integral0^infty w^n+k-1,e^-(beta+1)w;dw podem sair da integral;
  • ;
  • .
Então

Passo 4

A integral
integral0^inftyw^n+k-1,e^-(beta+1)w,dw
é justamente a definição da função Gama, com parâmetro integral0^inftyx^a-1e^-cx,dx=Gamma(a)c^a, e “taxa” integral0^inftyw^n+k-1e^-(beta+1)wdw =Gamma(n+k)(beta+1)^,n+k . Lembrando que
com e . Logo

Passo 5

Substituindo de volta em P(N=n) =beta^kn!,(k-1)!;Gamma(n+k)(beta+1)^n+k :
P(N=n) =beta^k(beta+1)^n+k; (n+k-1)!n!,(k-1)!
Como , fica
E esse quociente de fatoriais é o binomial “com repetição”
.

Resposta

boxedP(N=n) =binomn+k-1n, beta^k(beta+1)^,n+k

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