O chamado processo de Poisson em uma região R subset R^2 limitada pode ser construída da seguinte maneira.
  • primeiro sorteamos o total N de pontos a serem distribuídos em R, onde N será uma variável de Poisson de parâmetro lambda>0;
  • se N=n distribuímos n pontos independentes e com distribuição uniforme em R.
    O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em R.
    Dada agora uma região A subseteq R, denote por M o total de pontos do processo que estão dentro de A. Defina então p= área (A)/área (R), e faça o que se pede.
    Mostre que M sim Poisson(p lambda).
    (Dica: Note que
sumn=k^infty x^n-k(n-k)!=sumj=0^infty x^jj!=e^x
para todo x in R.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um processo de Poisson dentro de uma região R (com parâmetro λ) e, a partir dele, contamos quantos pontos caem numa sub-região A. Chamamos esse total de M, e queremos mostrar que
Msim Poisson(p,lambda), p=área(A)área(R)áá
O conteúdo aqui é teoria de processo de Poisson (variável N∼Poisson(λ) e “lançamento” uniforme dos pontos em R) e distribuição condicional, especialmente como a Binomial aparece condicionando N. Também vamos usar a dica da soma da série exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a distribuição de M condicionado a N. Se soubermos que saíram ao todo N=n pontos, cada um está em A com probabilidade p (porque é uniforme) e em R∖A com probabilidade 1–p, independentemente. Logo
P(M=kmid N=n)=binom nk,p^k(1-p)^,n-k, k=0,1,dots,n
Isso é simplesmente a distribuição Binomial Bin(n,p).

Passo 3

Agora “tiramos a condição” usando a fórmula da probabilidade total:
P(M=k)=sumn=k^inftyP(M=kmid N=n),P(N=n)
Sabemos também que
P(N=n)=e^-lambda,lambda^nn!, n=0,1,2,dots
Então
P(M=k) =sumn=k^inftybinom nk,p^k(1-p)^n-k;l(e^-lambdalambda^nn!r)

Passo 4

Vamos juntar tudo e simplificar:
  1. Escreve a binomial e a Poisson:
P(M=k)=e^-lambdasumn=k^inftyn!k!(n-k)!;p^k(1-p)^n-k;lambda^nn!
  1. Cancela o n! e rearranja poderes:
P(M=k) =e^-lambda,(plambda)^kk!sumn=k^inftyl(lambda(1-p)r)^,n-k(n-k)!
  1. Troca índice j=n–k para usar a dica:
sumn=k^infty(lambda(1-p))^n-k(n-k)! =sumj=0^infty(lambda(1-p))^jj! =e^lambda(1-p)
  1. Substitui de volta:
P(M=k) =e^-lambda,(plambda)^kk!;e^lambda(1-p) =e^-,lambda p,(plambda)^kk!
Isso é exatamente a massa de probabilidade de uma Poisson de parâmetro pλ.

Resposta

M ∼ Poisson(p λ), ou seja,
P(M=k)=e^-plambda,(plambda)^kk!, k=0,1,2,dots

Exercícios relacionados