O chamado processo de Poisson em uma região
limitada pode ser construída da seguinte maneira.
- primeiro sorteamos o total
de pontos a serem distribuídos em
, onde
será uma variável de Poisson de parâmetro
;
- se
distribuímos
pontos independentes e com distribuição uniforme em
.
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
.
Dada agora uma região
, denote por
o total de pontos do processo que estão dentro de
. Defina então
área
área
, e faça o que se pede.
Mostre que
.
(Dica: Note que
para todo
.)
O conjunto de pontos obtidos é conhecido como Processo de Poisson em
Dada agora uma região
Mostre que
(Dica: Note que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um processo de Poisson dentro de uma região R (com parâmetro λ) e, a partir dele, contamos quantos pontos caem numa sub-região A. Chamamos esse total de M, e queremos mostrar que
O conteúdo aqui é teoria de processo de Poisson (variável N∼Poisson(λ) e “lançamento” uniforme dos pontos em R) e distribuição condicional, especialmente como a Binomial aparece condicionando N. Também vamos usar a dica da soma da série exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a distribuição de M condicionado a N. Se soubermos que saíram ao todo N=n pontos, cada um está em A com probabilidade p (porque é uniforme) e em R∖A com probabilidade 1–p, independentemente. Logo
Isso é simplesmente a distribuição Binomial Bin(n,p).
Passo 3
Agora “tiramos a condição” usando a fórmula da probabilidade total:
Sabemos também que
Então
Passo 4
Vamos juntar tudo e simplificar:
- Escreve a binomial e a Poisson:
- Cancela o n! e rearranja poderes:
- Troca índice j=n–k para usar a dica:
- Substitui de volta:
Isso é exatamente a massa de probabilidade de uma Poisson de parâmetro pλ.
Resposta
M ∼ Poisson(p λ), ou seja,