Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias exponenciais independentes com parâmetro
de modo que
Considere a transformação:
. Determine a distribuição conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes
e
, cada uma com distribuição Exponencial(
), isto é
Definimos agora uma transformação
O que a gente precisa: achar a densidade conjunta
. Pra isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis e jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a inversa da transformação
.
Temos
Temos
Somando as duas equações dá
Subtraindo
dá
Agora o domínio: como
e
, exigimos
Isso equivale a
Passo 3
Vamos calcular o jacobiano
.
Temos
Logo a matriz jacobiana é
[
]
O determinante dá
Então
.
Passo 4
Como
e
são independentes, a densidade conjunta original é
Substituindo
e
, a soma
. Logo
Pela mudança de variável,
para
e
, e zero caso contrário.