Suponha que X1 e X2 sejam variáveis aleatórias exponenciais independentes com parâmetro lambda=1 de modo que
ll fX1(x1)=e^-x1 & 0
Considere a transformação: Y1=X1-X2, Y2=X1+X2. Determine a distribuição conjunta de Y1 e Y2.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes fX1(x1)=e^-x1,;x1>0 e fX2(x2)=e^-x2,;x2>0 e Y1 = X1 - X2, Y2 = X1 + X2 , cada uma com distribuição Exponencial( ), isto é
Definimos agora uma transformação
O que a gente precisa: achar a densidade conjunta . Pra isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis e jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a inversa da transformação Y1 = X1 - X2, Y2 = X1 + X2 .
Temos
Y1 + Y2 = 2X1Longrightarrow X1 = Y1+Y22
Somando as duas equações dá
X2 = Y2 - Y12
Subtraindo Y1+Y22>0 e Y2 - Y12>0
Y2 > |Y1| e Y2>0
Agora o domínio: como e , exigimos
Isso equivale a

Passo 3

Vamos calcular o jacobiano x1 = y1+y22, x2 = y2-y12 .
Temos
partial x1/partial y1 & partial x1/partial y2[6pt] partial x2/partial y1 & partial x2/partial y2 = 1/2 & 1/2[4pt] -1/2 & 1/2
Logo a matriz jacobiana é
[
det(J)=12cdot12 - l(-tfrac12r)cdottfrac12 = 14 + 14 = 12

.
]
O determinante dá
Então .

Passo 4

Como fX1,X2(x1,x2) = e^-x1;e^-x2 = e^-(x1+x2) e fX1,X2 l(tfracy1+y22,tfracy2-y12r) = e^-y2 são independentes, a densidade conjunta original é
fY1,Y2(y1,y2) = fX1,X2(x1,x2);l|det Jr| = e^-y2,12,
Substituindo e , a soma . Logo
Pela mudança de variável,
para e , e zero caso contrário.

Resposta

boxed fY1,Y2(y1,y2) = 12,e^-y2, y2>0,;|y1|á

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