Problema 2. Um bloco de massa m=680 \mathrm{~g} está preso a uma mola de constante elástica k=65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado a uma distância x=11 \mathrm{~cm} de sua posição de equilíbrio ( x=0 ), sobre uma superfície sem atrito, e solto a partir do repouso no instante t=0.
a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante?
b) Qual é a amplitude da oscilação?
c) Qual é a velocidade máxima v_{m} do bloco oscilante e em que posição o bloco se encontra quando possui essa velocidade?
d) Qual é o módulo da aceleração máxima a_{m} do bloco?
e) Qual é a constante de fase \varphi do movimento?
f) Qual é a função deslocamento x(t) para o sistema massa-mola? Mostre que a expressão obtida satisfaz a equação do oscilador harmônico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
  • Massa do bloco: m=680\\ \mathrm{g}=0,68\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=65\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial (em relação à posição de equilíbrio x=0): x(0)=0,11\\ \mathrm{m}.
  • O bloco é solto a partir do repouso em t=0, ou seja v(0)=0.
  • Superfície sem atrito (logo não há força de atrito dissipativa).
Perguntas do enunciado:
a) Calcular a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
b) Determinar a amplitude da oscilação.
c) Determinar a velocidade máxima v_{m} e em que posição essa velocidade ocorre.
d) Determinar o módulo da aceleração máxima a_{m}.
e) Determinar a constante de fase \varphi.
f) Escrever a função deslocamento x(t) e mostrar que ela satisfaz a equação do oscilador harmônico.

Passo 2

Entender a equação do sistema massa-mola e obter a fórmula para a frequência angular.
  • Para um sistema massa-mola ideal sem atrito a equação do movimento (segunda lei de Newton + força elástica de Hooke) é
m\ddot{x} + kx = 0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração, m é a massa e k a constante elástica.
  • Procurando soluções oscilatórias do tipo x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) e derivando duas vezes, obtemos \ddot{x}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi). Substituindo na equação diferencial resulta
-mA\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi) + kA\cos(\omega t+\varphi)=0,
o que implica (para A\neq0)
m\omega^{2}=k.
  • Portanto a frequência angular é
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Agora calculo numericamente:
\omega=\sqrt{\dfrac{65}{0,68}}=\sqrt{95,5882353}\approx9,777\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a frequência f e o período T.
  • A relação entre frequência angular e frequência é
f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Substituindo:
f=\dfrac{9,777}{2\pi}\approx\dfrac{9,777}{6,283185}\approx1,557\\ \mathrm{Hz}.
  • O período é o inverso da frequência:
T=\dfrac{1}{f}\approx\dfrac{1}{1,557}\approx0,642\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar a amplitude A a partir das condições iniciais.
  • A forma geral do movimento harmônico simples é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Das condições iniciais em t=0 temos
x(0)=A\cos\varphi,\qquad v(0)=-A\omega\sin\varphi.
  • Uma fórmula útil que elimina \varphi é obtida somando os quadrados:
A^{2}=[x(0)]^{2}+\left(\dfrac{v(0)}{\omega}\right)^{2}.
  • Aqui x(0)=0,11\\ \mathrm{m} e v(0)=0. Então
A=\sqrt{(0,11)^{2}+\left(\dfrac{0}{\omega}\right)^{2}}=0,11\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: como o bloco foi solto a partir do repouso na posição deslocada +0,11\\ \mathrm{m}, essa posição é o amplitude máxima positiva.

Passo 5

Velocidade máxima v_{m} e posição onde ela ocorre.
  • Para x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) a velocidade é
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • O módulo máximo de v(t) é quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, portanto
v_{m}=A\omega.
  • Calculando numericamente:
v_{m}=0,11\times9,777\approx1,0755\\ \mathrm{m/s}\approx1,08\\ \mathrm{m/s}.
  • Em que posição isso acontece? Quando \sin(\omega t+\varphi)=\pm1 tem-se \cos(\omega t+\varphi)=0, logo x=0. Ou seja, a velocidade máxima (em módulo) ocorre ao passar pela posição de equilíbrio x=0.

Passo 6

Módulo da aceleração máxima a_{m}.
  • A aceleração é
a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
  • O módulo máximo de a(t) é quando |\cos(\omega t+\varphi)|=1, portanto
a_{m}=A\omega^{2}.
  • Numericamente, como \omega^{2}=k/m=95,5882353,
a_{m}=0,11\times95,5882353\approx10,5147\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx10,51\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Observação: a aceleração máxima em módulo ocorre nas posições de máximo deslocamento x=\pm A.

Passo 7

Determinar a constante de fase \varphi.
  • Usamos as condições iniciais:
x(0)=A\cos\varphi=0,11,\qquad v(0)=-A\omega\sin\varphi=0.
  • Como já achamos A=0,11, a primeira equação dá \cos\varphi=1. A segunda dá \sin\varphi=0. As duas são satisfeitas por
\varphi=0\quad(\text{ou }2\pi n,\\ n\in\mathbb{Z}).
  • Tomamos a escolha principal \varphi=0.

Passo 8

Escrever a função deslocamento x(t) com os números encontrados e mostrar que ela satisfaz a equação do oscilador harmônico.
  • Com A=0,11, \omega\approx9,777 e \varphi=0, a função deslocamento é
x(t)=0,11\cos\bigl(9,777\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
  • Agora verifico que satisfaz a equação m\ddot{x}+kx=0. Derivando:
\ddot{x}(t)=-0,11\,(9,777)^{2}\cos(9,777\,t)=-\omega^{2}\,x(t).
Multiplicando por m:
m\ddot{x}(t)=-m\omega^{2}x(t)=-k x(t),
pois m\omega^{2}=k. Portanto
m\ddot{x}(t)+k x(t)=0,
o que mostra que x(t) satisfaz a equação do oscilador harmônico.

Resposta

a) \omega=9,777\\ \mathrm{rad/s},\quad f=1,557\\ \mathrm{Hz},\quad T=0,642\\ \mathrm{s}
b) A=0,11\\ \mathrm{m}
c) v_{m}=1,08\\ \mathrm{m/s} (ocorre em x=0)
d) a_{m}=10,51\\ \mathrm{m/s^{2}}
e) \varphi=0
f) x(t)=0,11\cos\bigl(9,777\,t\bigr)\\ \mathrm{m} (verificado que satisfaz m\ddot{x}+kx=0)

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