Problema 2. Um bloco de massa
está preso a uma mola de constante elástica
. O bloco é puxado a uma distância
de sua posição de equilíbrio (
), sobre uma superfície sem atrito, e solto a partir do repouso no instante
.
a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante?
b) Qual é a amplitude da oscilação?
c) Qual é a velocidade máxima
do bloco oscilante e em que posição o bloco se encontra quando possui essa velocidade?
d) Qual é o módulo da aceleração máxima
do bloco?
e) Qual é a constante de fase
do movimento?
f) Qual é a função deslocamento
para o sistema massa-mola? Mostre que a expressão obtida satisfaz a equação do oscilador harmônico.
a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante?
b) Qual é a amplitude da oscilação?
c) Qual é a velocidade máxima
d) Qual é o módulo da aceleração máxima
e) Qual é a constante de fase
f) Qual é a função deslocamento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos:
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Deslocamento inicial (em relação à posição de equilíbrio
): . - O bloco é solto a partir do repouso em
, ou seja . - Superfície sem atrito (logo não há força de atrito dissipativa).
Perguntas do enunciado:
a) Calcular a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
b) Determinar a amplitude da oscilação.
c) Determinar a velocidade máxima e em que posição essa velocidade ocorre.
d) Determinar o módulo da aceleração máxima .
e) Determinar a constante de fase .
f) Escrever a função deslocamento e mostrar que ela satisfaz a equação do oscilador harmônico.
a) Calcular a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
b) Determinar a amplitude da oscilação.
c) Determinar a velocidade máxima
d) Determinar o módulo da aceleração máxima
e) Determinar a constante de fase
f) Escrever a função deslocamento
Passo 2
Entender a equação do sistema massa-mola e obter a fórmula para a frequência angular.
- Para um sistema massa-mola ideal sem atrito a equação do movimento (segunda lei de Newton + força elástica de Hooke) é
Aqui
é a aceleração,
é a massa e
a constante elástica.
- Procurando soluções oscilatórias do tipo
e derivando duas vezes, obtemos . Substituindo na equação diferencial resulta
o que implica (para
)
- Portanto a frequência angular é
Agora calculo numericamente:
Passo 3
Calcular a frequência
e o período
.
- A relação entre frequência angular e frequência é
Substituindo:
- O período é o inverso da frequência:
Passo 4
Determinar a amplitude
a partir das condições iniciais.
- A forma geral do movimento harmônico simples é
Das condições iniciais em
temos
- Uma fórmula útil que elimina
é obtida somando os quadrados:
- Aqui
e . Então
Interpretação física: como o bloco foi solto a partir do repouso na posição deslocada
, essa posição é o amplitude máxima positiva.
Passo 5
Velocidade máxima
e posição onde ela ocorre.
- Para
a velocidade é
- O módulo máximo de
é quando , portanto
- Calculando numericamente:
- Em que posição isso acontece? Quando
tem-se , logo . Ou seja, a velocidade máxima (em módulo) ocorre ao passar pela posição de equilíbrio .
Passo 6
Módulo da aceleração máxima
.
- A aceleração é
- O módulo máximo de
é quando , portanto
- Numericamente, como
,
- Observação: a aceleração máxima em módulo ocorre nas posições de máximo deslocamento
.
Passo 7
Determinar a constante de fase
.
- Usamos as condições iniciais:
- Como já achamos
, a primeira equação dá . A segunda dá . As duas são satisfeitas por
- Tomamos a escolha principal
.
Passo 8
Escrever a função deslocamento
com os números encontrados e mostrar que ela satisfaz a equação do oscilador harmônico.
- Com
, e , a função deslocamento é
- Agora verifico que satisfaz a equação
. Derivando:
Multiplicando por
:
pois
. Portanto
o que mostra que
satisfaz a equação do oscilador harmônico.
Resposta
a)
b)
c) (ocorre em
)
d)
e)
f) (verificado que satisfaz
)
b)
c)
d)
e)
f)